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Exercices

Calcul différentiel

65 sur 305 exercices corrigés, gratuits et sans inscription. Chacun avec son indice, sa réponse finale et sa démarche détaillée — cherche d'abord, dévoile ensuite.

Chapitre

Type

Difficulté

1. Fonctions, domaines et fonctions réciproques

8 exercices ici.

1.Courte démarcheMoyen§1.1· 5 min

Rappel : les fonctions de base et leurs graphiques

Détermine le domaine et l'image de la fonction représentée ci-dessous, en notation d'intervalles.

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Indice

Le domaine se lit sur l'axe horizontal (de gauche à droite), l'image sur l'axe vertical (de bas en haut). Les points pleins indiquent que les extrémités sont incluses.

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Réponse finale

\mathrm{dom}\,f = [-1, 8]

\mathrm{ima}\,f = [0, 3]

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Démarche détaillée

Domaine — on projette sur l'axe horizontal. La courbe commence au point $(-1, 0)$ et se termine au point $(8, 3)$ .
Les deux extrémités sont marquées par des points pleins : elles sont donc incluses.
$\mathrm{dom}\,f = [-1, 8].$
Image — on projette sur l'axe vertical. La courbe est croissante : sa plus basse valeur est $0$ (atteinte en $x=-1$ ) et sa plus haute est $3$ (atteinte en $x=8$ ).
$\mathrm{ima}\,f = [0, 3].$
Vérification algébrique. La courbe est celle de $f(x) = \sqrt{x+1}$ restreinte à $[-1, 8]$ . On confirme : $f(-1) = \sqrt{0} = 0 \qquad \text{et} \qquad f(8) = \sqrt{9} = 3.$
Le réflexe à garder. Domaine $\to$ axe horizontal, image $\to$ axe vertical. Un point plein donne un crochet fermé, un point vide un crochet ouvert.

Piège fréquent — Inverser les deux axes et donner l'image à la place du domaine.

2.Courte démarcheFacile§1.2· 3 min

Rappel : lois des exposants et propriétés des logarithmes

Simplifie

\dfrac{x^{4} \cdot x^{-1}}{x^{2}}

et exprime le résultat sans exposant négatif.

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Indice

Traite d'abord le numérateur : deux puissances d'une même base qui se multiplient.

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Réponse finale

x

(pour

x \neq 0

)

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Démarche détaillée

Étape 1 — Numérateur. Pour un produit de puissances de même base, on additionne les exposants : $x^{4} \cdot x^{-1} = x^{4 + (-1)} = x^{3}.$
Étape 2 — Quotient. Pour un quotient de puissances de même base, on soustrait les exposants : $\dfrac{x^{3}}{x^{2}} = x^{3-2} = x^{1} = x.$
Réponse. $\dfrac{x^{4}\cdot x^{-1}}{x^{2}} = x.$
La restriction. L'expression de départ contient $x^{-1} = \dfrac{1}{x}$ et une division par $x^{2}$ : elle exige $x \neq 0$ .
Le résultat simplifié $x$ , lui, est défini partout. C'est exactement le genre de subtilité que formalise la section 1.5 : simplifier ne fait pas disparaître les restrictions de l'expression d'origine.

Piège fréquent — Multiplier les exposants au lieu de les additionner dans le produit.

3.Courte démarcheFacile§1.3· 4 min

Les fonctions arcsinus et arctangente

Calcule

\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)

\arctan\bigl(\sqrt{3}\bigr)

sans calculatrice.

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Indice

Dans chaque cas, cherche l'angle de la table des valeurs exactes qui donne le nombre voulu — en respectant l'intervalle image.

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Réponse finale

\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \dfrac{\pi}{4}

\arctan\bigl(\sqrt{3}\bigr) = \dfrac{\pi}{3}

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Démarche détaillée

Premier calcul. On cherche l'angle $\theta \in \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$ tel que $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
La table des valeurs exactes donne $\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , et $\dfrac{\pi}{4}$ appartient bien à l'intervalle image de l'arcsinus.
$\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \dfrac{\pi}{4}.$
Second calcul. On cherche l'angle $\theta \in \left]-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right[$ tel que $\tan\theta = \sqrt{3}$ .
La table donne $\tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ , et $\dfrac{\pi}{3}$ appartient à l'intervalle image de l'arctangente.
$\arctan\bigl(\sqrt{3}\bigr) = \dfrac{\pi}{3}.$
Pourquoi l'intervalle image compte. L'angle $\dfrac{3\pi}{4}$ a lui aussi un sinus égal à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , mais il n'appartient pas à $\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$ : ce n'est donc pas la valeur de l'arcsinus.
C'est précisément cette restriction qui rend l'arcsinus bien défini — sans elle, il y aurait une infinité de réponses.

Piège fréquent — Donner un angle correct pour le sinus mais situé hors de l'intervalle image, comme

\dfrac{3\pi}{4}

4.Vrai ou fauxMoyen§1.3· 3 min

Les fonctions arcsinus et arctangente

Vrai ou faux ? Comme

\arctan x

est définie pour tout réel

x

, il en va de même de

\arcsin x

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Indice

Existe-t-il un angle dont le sinus vaut

2

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Réponse finale

Faux

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Démarche détaillée

Les deux fonctions inverses n'ont pas du tout le même domaine.
Arctangente. La tangente prend toutes les valeurs réelles sur $\left]-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right[$ — son graphique monte de $-\infty$ à $+\infty$ . Tout réel est donc atteint : $\mathrm{dom}(\arctan) = \mathbb{R}.$
Arcsinus. Le sinus, lui, reste toujours compris entre $-1$ et $1$ . Aucun angle n'a un sinus égal à $2$ : $\mathrm{dom}(\arcsin) = [-1, 1].$
L'énoncé est donc faux.
Conséquence pratique. $\arcsin 2$ n'existe pas, alors que $\arctan 2$ existe (et vaut environ $1{,}107$ rad).
C'est une source d'erreur fréquente en détermination de domaine : dès qu'un arcsinus apparaît, il faut ajouter la condition $-1 \leq \text{argument} \leq 1$ . L'arctangente, elle, n'impose jamais rien.

Piège fréquent — Supposer que toutes les fonctions trigonométriques inverses ont le même domaine.

5.Choix multipleMoyen§1.4· 3 min

Rappel : cercle trigonométrique et identités

Laquelle de ces expressions est égale à

\cos(2\theta)

pour tout

\theta

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Indice

Teste chaque candidat en

\theta = 0

, où

\cos(2\theta) = \cos 0 = 1

. Cela élimine déjà plusieurs options.

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Réponse finale

\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta

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Démarche détaillée

Les deux identités d'angle double du cours sont $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta \qquad \text{et} \qquad \cos(2\theta) = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta.$
La bonne réponse est donc (b).
Éliminer les autres par un test rapide. On prend $\theta = 0$ , où $\cos(2\theta) = \cos 0 = 1$ .
(a) $2\cos 0 = 2 \neq 1$ . Éliminé.
(c) $2\sin 0 \cos 0 = 0 \neq 1$ . Éliminé.
(d) $\cos^{2}0 + \sin^{2}0 = 1$ : le test passe ! Mais cette expression vaut $1$ pour tout $\theta$ , alors que $\cos(2\theta)$ varie. Un second test en $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ le confirme : elle donne $1$ , alors que $\cos\pi = -1$ .
(b) $\cos^{2}0 - \sin^{2}0 = 1 - 0 = 1$ . $\checkmark$ Et en $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ : $0 - 1 = -1 = \cos\pi$ . $\checkmark$
Ce que la méthode enseigne. Un test numérique élimine vite les mauvaises réponses, mais il ne prouve rien : il faut parfois deux valeurs pour départager, comme entre (b) et (d).

Piège fréquent — Confondre la formule de

\cos(2\theta)

avec celle de

\sin(2\theta)

6.Courte démarcheFacile§1.5· 4 min

Détermination algébrique du domaine

Détermine le domaine de

f(x) = \sqrt{5-2x}

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Indice

La racine est d'indice pair. Attention au sens de l'inégalité quand tu divises par un nombre négatif.

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Réponse finale

\mathrm{dom}\,f = \;\left]-\infty, \dfrac{5}{2}\right]

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Démarche détaillée

Étape 1 — Repérer la restriction. Une racine d'indice pair exige un radicande positif ou nul.
Étape 2 — Écrire la condition. $5 - 2x \geq 0.$
Étape 3 — Résoudre. $-2x \geq -5.$
On divise par $-2$ . Comme il s'agit d'un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse : $x \leq \dfrac{-5}{-2} = \dfrac{5}{2}.$
Étape 4 — Conclure. $\mathrm{dom}\,f = \;\left]-\infty, \dfrac{5}{2}\right].$
Le crochet est fermé en $\dfrac{5}{2}$ : la condition est $\geq 0$ , et $\sqrt{0} = 0$ existe bien.
Contrôle. En $x = 0$ : $\sqrt{5-0} = \sqrt{5}$ , qui existe, et $0 \leq \dfrac{5}{2}$ . $\checkmark$
En $x = 3$ : $\sqrt{5-6} = \sqrt{-1}$ , qui n'existe pas, et $3 > \dfrac{5}{2}$ . $\checkmark$
Une autre façon d'éviter l'inversion. On peut isoler autrement : $5 \geq 2x$ , puis $\dfrac{5}{2} \geq x$ . Aucune division par un négatif, donc aucun risque d'erreur de sens.

Piège fréquent — Oublier d'inverser le sens de l'inégalité en divisant par

-2

, ce qui donnerait

\left[\dfrac{5}{2}, +\infty\right[

7.Courte démarcheDifficile§1.5· 6 min

Détermination algébrique du domaine

Détermine le domaine de

\displaystyle f(x) = \dfrac{\sqrt[3]{x-1}}{x^{2}-9}

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Indice

Combien de sources de restriction y a-t-il vraiment ici ? Regarde bien l'indice de la racine.

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Réponse finale

\mathrm{dom}\,f = \mathbb{R}\setminus\{-3, 3\} = \;]-\infty,-3[\;\cup\;]-3,3[\;\cup\;]3,+\infty[

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Démarche détaillée

Étape 1 — Repérer les restrictions. L'expression contient deux éléments suspects : une racine et un dénominateur. Il faut les examiner séparément.
La racine cubique n'impose rien. Son indice est impair : on peut extraire la racine cubique d'un nombre négatif. Par exemple $\sqrt[3]{-8} = -2$ .
Seules les racines d'indice pair ( $\sqrt{\ }$ , $\sqrt[4]{\ }$ , …) exigent un radicande positif ou nul. Ici, aucune condition ne vient de la racine.
Étape 2 — Le dénominateur. C'est la seule vraie source de restriction : $x^{2}-9 \neq 0.$
Étape 3 — Résoudre. $x^{2}-9 = (x-3)(x+3) = 0 \iff x = 3 \ \text{ ou } \ x = -3.$
Étape 4 — Conclure. $\mathrm{dom}\,f = \mathbb{R}\setminus\{-3, 3\} = \;]-\infty,-3[\;\cup\;]-3,3[\;\cup\;]3,+\infty[.$
Contrôle en une valeur négative. En $x = -1$ : $f(-1) = \dfrac{\sqrt[3]{-2}}{1-9} = \dfrac{\sqrt[3]{-2}}{-8},$ une valeur parfaitement définie. Cela confirme que la racine cubique n'exclut rien.
L'erreur classique. Écrire par réflexe $x - 1 \geq 0$ et répondre $[1, 3[\;\cup\;]3, +\infty[$ . On aurait alors amputé le domaine de tout l'intervalle $]-\infty, 1[$ , où la fonction est pourtant bien définie.
Le réflexe à installer : avant d'écrire une condition de radicande, toujours vérifier l'indice de la racine.

Piège fréquent — Appliquer la condition

A \geq 0

à une racine d'indice impair.

8.Problème completDifficile§1.5· 12 min

Détermination algébrique du domaine

Détermine le domaine de

\displaystyle f(x) = \dfrac{\sqrt{x+2}}{\ln x}

.
Procède par la méthode en 5 étapes : repère chaque source de restriction, écris et résous chaque condition, puis fais l'intersection.

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Indice

Il y a trois sources de restriction, pas deux. Le logarithme est au dénominateur : sa simple existence ne suffit pas.

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Réponse finale

\mathrm{dom}\,f = \;]0, 1[\;\cup\;]1, +\infty[

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Démarche détaillée

Étape 1 — Repérer toutes les sources de restriction. Il y en a trois :
(i) la racine carrée du numérateur, d'indice pair ;
(ii) le logarithme du dénominateur, qui exige un argument strictement positif ;
(iii) le fait que ce logarithme soit au dénominateur : il ne doit pas s'annuler.
C'est la troisième que l'on oublie presque toujours.
Étape 2 — Écrire les conditions. $x + 2 \geq 0, \qquad x > 0, \qquad \ln x \neq 0.$
Étape 3 — Résoudre chacune.
(i) $x + 2 \geq 0 \iff x \geq -2$ , soit $[-2, +\infty[$ .
(ii) $x > 0$ , soit $]0, +\infty[$ .
(iii) $\ln x = 0$ lorsque $x = 1$ , puisque $\ln 1 = 0$ . Il faut donc $x \neq 1$ .
Étape 4 — Faire l'intersection. Les trois conditions doivent être satisfaites en même temps.
L'intersection de $[-2, +\infty[$ et de $]0, +\infty[$ est $]0, +\infty[$ : la seconde condition est plus restrictive et absorbe la première.
Il reste à retirer la valeur $1$ : $]0, +\infty[\;\setminus\{1\} = \;]0, 1[\;\cup\;]1, +\infty[.$
Étape 5 — Réponse. $\mathrm{dom}\,f = \;]0, 1[\;\cup\;]1, +\infty[.$
Contrôles. En $x = 1$ : $f(1) = \dfrac{\sqrt{3}}{\ln 1} = \dfrac{\sqrt{3}}{0}$ , qui n'existe pas. $\checkmark$
En $x = \dfrac{1}{2}$ : $f\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{5/2}}{\ln(1/2)}$ , avec $\ln(1/2) \approx -0{,}693 \neq 0$ . La valeur existe, ce qui confirme que $]0,1[$ fait bien partie du domaine. $\checkmark$
En $x = -1$ : la racine $\sqrt{1}$ irait, mais $\ln(-1)$ n'existe pas. Rejeté. $\checkmark$
Ce que l'exercice enseigne. Une même expression peut porter deux conditions à la fois — ici, $\ln x$ doit exister et être non nul. La méthode en 5 étapes n'est pas une formalité : c'est ce qui empêche d'en oublier une.

Piège fréquent — S'arrêter à

x > 0

et oublier d'exclure

x = 1

, où le logarithme du dénominateur s'annule.

8 exercices disponibles — 17 autres avec le package.

2. Limites, formes indéterminées et asymptotes

12 exercices ici.

1.Courte démarcheFacile§2.1· 4 min

Notation et approche intuitive

Estime

\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}

en complétant un tableau de valeurs de part et d'autre de

2

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Indice

Choisis des valeurs de

x

de plus en plus proches de

2

, à gauche et à droite. Que peux-tu dire de

f(2)

lui-même ?

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Réponse finale

\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{x^{2}-4}{x-2} = 4

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Démarche détaillée

La fonction n'est pas définie en $x = 2$ : l'évaluation directe donnerait $\dfrac{0}{0}$ . Cela n'empêche pas d'étudier son comportement autour de $2$ .
On calcule $f(x)$ pour des valeurs de plus en plus proches de $2$ , des deux côtés :
$x$ $1{,}9$ $1{,}99$ $1{,}999$ $2$ $2{,}001$ $2{,}01$ $2{,}1$
$f(x)$ $3{,}9$ $3{,}99$ $3{,}999$ indéf. $4{,}001$ $4{,}01$ $4{,}1$
Les valeurs s'approchent de $4$ par la gauche comme par la droite.
On conclut : $\lim_{x \to 2}\dfrac{x^{2}-4}{x-2} = 4.$
Vérification algébrique : pour $x \neq 2$ , on peut factoriser et simplifier, $\dfrac{x^{2}-4}{x-2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2,$ qui vaut bien $4$ quand $x$ tend vers $2$ .

$x$	$1{,}9$	$1{,}99$	$1{,}999$	$2$	$2{,}001$	$2{,}01$	$2{,}1$
$f(x)$	$3{,}9$	$3{,}99$	$3{,}999$	indéf.	$4{,}001$	$4{,}01$	$4{,}1$

Piège fréquent — Conclure que la limite n'existe pas parce que

f(2)

n'existe pas.

2.Vrai ou fauxFacile§2.1· 2 min

Notation et approche intuitive

Vrai ou faux ? Si

f(a)

n'existe pas, alors

\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)

n'existe pas non plus.

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Indice

Cherche une fonction qui n'est pas définie en un point mais dont on peut tout de même décrire le comportement autour de ce point.

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Réponse finale

Faux

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Démarche détaillée

L'existence de la limite et l'existence de $f(a)$ sont deux questions indépendantes.
Contre-exemple. Considérons $f(x) = \dfrac{x^{2}-4}{x-2}.$
Cette fonction n'est pas définie en $x = 2$ , puisque le dénominateur s'y annule : $f(2)$ n'existe pas.
Pourtant, pour tout $x \neq 2$ , on a $f(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2,$ et donc $\lim_{x \to 2} f(x) = 4.$
La limite existe bel et bien : l'énoncé est faux.
C'est même la situation la plus intéressante du chapitre : c'est parce que la limite peut exister là où la fonction n'est pas définie qu'elle permettra, au chapitre 4, de définir la dérivée.

Piège fréquent — Croire qu'il faut que la fonction soit définie en

a

pour que la limite existe.

3.Choix multipleMoyen§2.1· 3 min

Notation et approche intuitive

Le graphique ci-dessous représente une fonction

g

. Que vaut

\displaystyle\lim_{x \to 2} g(x)

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Indice

Suis la courbe avec ton doigt en approchant

x = 2

par la gauche, puis par la droite. Vers quelle hauteur te diriges-tu ? Ignore le point isolé.

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Réponse finale

3

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Démarche détaillée

Pour lire une limite sur un graphique, on suit la courbe en approchant l'abscisse visée, sans tenir compte de la valeur ponctuelle.
À gauche de $2$ : la courbe monte le long de la droite et se dirige vers la hauteur $3$ , marquée par le point vide.
À droite de $2$ : la courbe repart de cette même hauteur $3$ .
Les deux limites latérales existent et sont égales : $\lim_{x \to 2^{-}} g(x) = \lim_{x \to 2^{+}} g(x) = 3,$ donc la limite existe et vaut $3$ .
Le point plein en $(2,1)$ indique que $g(2) = 1$ . Cette valeur n'intervient pas dans le calcul de la limite : on a ici $\lim_{x \to 2} g(x) = 3 \neq 1 = g(2).$

Piège fréquent — Lire la valeur du point plein au lieu de suivre la courbe.

4.Vrai ou fauxMoyen§2.2· 2 min

Limites à gauche, à droite et existence de la limite

Vrai ou faux ? Les deux limites latérales d'une fonction en un point peuvent exister sans que la limite globale existe.

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Indice

Que manque-t-il au théorème d'existence en plus de l'existence des deux limites latérales ?

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Réponse finale

Vrai

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Démarche détaillée

Le théorème d'existence exige deux conditions : que les limites latérales existent, et qu'elles soient égales.
Si la seconde condition échoue, la limite globale n'existe pas, même si les deux limites latérales sont parfaitement définies.
Contre-exemple. Soit $g(x) = \begin{cases} x^{2} & \text{si } x < 2, \\ 3x-1 & \text{si } x \geq 2. \end{cases}$
On a $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} g(x) = 4$ et $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} g(x) = 5$ : les deux existent.
Mais $4 \neq 5$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 2} g(x)$ n'existe pas.
L'énoncé est donc vrai. C'est exactement la situation d'une discontinuité par saut.

Piège fréquent — Croire que l'existence des deux limites latérales entraîne celle de la limite globale.

5.Courte démarcheMoyen§2.2· 4 min

Limites à gauche, à droite et existence de la limite

Étudie l'existence de

\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{|x|}{x}

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Indice

La valeur absolue se comporte différemment selon le signe de

x

. Écris

|x|

sans les barres pour chaque côté.

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Réponse finale

La limite n'existe pas (limite à gauche

= -1

, limite à droite

= 1

)

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Démarche détaillée

La valeur absolue se définit par parties : $|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0, \\ -x & \text{si } x < 0. \end{cases}$
Limite à droite. Si $x > 0$ , alors $|x| = x$ , donc $\lim_{x \to 0^{+}}\dfrac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^{+}}\dfrac{x}{x} = 1.$
Limite à gauche. Si $x < 0$ , alors $|x| = -x$ , donc $\lim_{x \to 0^{-}}\dfrac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^{-}}\dfrac{-x}{x} = -1.$
Les deux limites latérales existent mais diffèrent : $-1 \neq 1.$
Donc $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{|x|}{x}$ n'existe pas.
Cette fonction vaut $-1$ pour tout $x$ négatif et $1$ pour tout $x$ positif : son graphique présente un saut en $0$ .

Piège fréquent — Simplifier

\frac{|x|}{x}

1

sans distinguer le signe de

x

6.Vrai ou fauxMoyen§2.3· 3 min

Propriétés des limites

Vrai ou faux ? Pour toutes fonctions

f

g

dont les limites existent en

a

, on a

\displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)}

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Indice

L'énoncé dit « pour toutes fonctions ». Peux-tu trouver un cas où le membre de droite n'a aucun sens ?

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Réponse finale

Faux

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Démarche détaillée

L'énoncé omet la condition essentielle : la limite du dénominateur doit être non nulle.
Contre-exemple. Prenons $f(x) = x^{2}-4$ et $g(x) = x-2$ , en $a = 2$ .
Les deux limites existent : $\lim_{x\to 2}\left(x^{2}-4\right) = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x\to 2}(x-2) = 0.$
Le membre de droite donnerait $\dfrac{0}{0}$ , qui n'a aucun sens.
Pourtant le membre de gauche existe : pour $x \neq 2$ , $\dfrac{x^{2}-4}{x-2} = x+2 \quad \Longrightarrow \quad \lim_{x\to 2}\dfrac{x^{2}-4}{x-2} = 4.$
L'égalité de l'énoncé est donc fausse en toute généralité : elle n'est valide que si $\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) \neq 0$ .
Ce contre-exemple est exactement le genre de situation qui mènera aux techniques de levée de la section 2.7.

Piège fréquent — Retenir la propriété du quotient sans sa condition d'application.

7.Vrai ou fauxFacile§2.4· 2 min

Calcul algébrique de limites de fonctions élémentaires

Vrai ou faux ? Si

f

est une fonction algébrique, exponentielle, logarithmique, trigonométrique ou trigonométrique inverse, et si

a

appartient au domaine de

f

, alors

\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

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Indice

C'est exactement l'énoncé de l'encadré « À mémoriser » de la section 2.4. Quelle condition y figure-t-il ?

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Réponse finale

Vrai

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

C'est la propriété d'évaluation directe énoncée dans le cours : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \qquad \text{si } a \in \mathrm{dom}\,f.$
Elle vaut pour toutes les familles de fonctions élémentaires citées.
L'énoncé est donc vrai.
La condition $a \in \mathrm{dom}\,f$ est indispensable : sans elle, l'écriture $f(a)$ n'aurait aucun sens. C'est justement quand elle échoue qu'apparaissent les formes indéterminées et les limites infinies.
Au chapitre 3, on donnera un nom à cette propriété : elle exprime que ces fonctions sont continues sur tout leur domaine.

Piège fréquent — Croire que la propriété vaut sans condition sur le domaine.

8.Problème completDifficile§2.5· 9 min

Limites infinies et asymptotes verticales

Soit

\displaystyle h(x) = \dfrac{x+1}{x^{2}-4}

.
(a) Détermine le domaine de

h

.
(b) Trouve toutes les asymptotes verticales.
(c) Calcule les quatre limites latérales correspondantes.

Voir un indice

Indice

Factorise le dénominateur : l'analyse de signe devient beaucoup plus simple. Attention, le signe du numérateur compte lui aussi.

Voir la réponse finale

Réponse finale

(a)

\mathbb{R}\setminus\{-2, 2\}

(b)

x = -2

x = 2

2^{+}

+\infty

, en

2^{-}

-\infty

, en

-2^{+}

+\infty

, en

-2^{-}

-\infty

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

(a) On cherche où le dénominateur s'annule : $x^{2}-4 = 0 \iff (x-2)(x+2) = 0 \iff x = 2 \ \text{ ou } \ x = -2.$
Donc $\mathrm{dom}\,h = \mathbb{R}\setminus\{-2, 2\}.$
(b) En $x = 2$ , le numérateur vaut $3 \neq 0$ ; en $x = -2$ , il vaut $-1 \neq 0$ . Dans les deux cas on obtient une forme $\dfrac{k}{0}$ avec $k \neq 0$ , donc une limite infinie.
Les deux droites $x = 2$ et $x = -2$ sont des asymptotes verticales.
(c) On travaille avec la forme factorisée $h(x) = \dfrac{x+1}{(x-2)(x+2)}$ .
En $x = 2$ . Le numérateur tend vers $3$ (positif). Pour le dénominateur : le facteur $(x+2)$ tend vers $4 > 0$ , donc c'est le signe de $(x-2)$ qui décide.
Si $x \to 2^{+}$ : $(x-2) \to 0^{+}$ , donc le dénominateur tend vers $0^{+}$ : $\lim_{x \to 2^{+}} h(x) = \dfrac{3}{0^{+}} = +\infty.$
Si $x \to 2^{-}$ : $(x-2) \to 0^{-}$ , donc le dénominateur tend vers $0^{-}$ : $\lim_{x \to 2^{-}} h(x) = \dfrac{3}{0^{-}} = -\infty.$
En $x = -2$ . Le numérateur tend vers $-1$ (négatif — c'est ce qui change tout). Le facteur $(x-2)$ tend vers $-4 < 0$ , donc c'est le signe de $(x+2)$ combiné à celui de $(x-2)$ qui décide.
Si $x \to -2^{+}$ : $(x+2) \to 0^{+}$ et $(x-2) < 0$ , donc le dénominateur tend vers $0^{-}$ : $\lim_{x \to -2^{+}} h(x) = \dfrac{-1}{0^{-}} = +\infty.$
Si $x \to -2^{-}$ : $(x+2) \to 0^{-}$ et $(x-2) < 0$ , donc le dénominateur tend vers $0^{+}$ : $\lim_{x \to -2^{-}} h(x) = \dfrac{-1}{0^{+}} = -\infty.$
Remarque : en $x=-2$ , les signes obtenus sont l'inverse de ce à quoi on s'attendrait intuitivement, précisément parce que le numérateur y est négatif.

Piège fréquent — Négliger le signe du numérateur et supposer que le comportement en

x=-2

reproduit celui en

x=2

9.Vrai ou fauxMoyen§2.6· 3 min

Limites à l'infini et asymptotes horizontales

Vrai ou faux ? Le graphique d'une fonction peut posséder deux asymptotes horizontales différentes.

Voir un indice

Indice

Combien de limites à l'infini peut-on calculer pour une même fonction ? Pense à une fonction du chapitre 1.

Voir la réponse finale

Réponse finale

Vrai

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Une asymptote horizontale provient d'une limite à l'infini. Or il y en a deux à examiner : $\lim_{x \to +\infty} f(x) \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x).$
Rien n'oblige ces deux limites à coïncider.
Exemple. La fonction arctangente, vue au chapitre 1, vérifie $\lim_{x \to +\infty}\arctan x = \dfrac{\pi}{2} \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to -\infty}\arctan x = -\dfrac{\pi}{2}.$
Son graphique possède donc deux asymptotes horizontales distinctes : $y = \dfrac{\pi}{2}$ et $y = -\dfrac{\pi}{2}$ .
L'énoncé est vrai. Une fonction peut avoir zéro, une ou deux asymptotes horizontales — jamais plus.
Contrairement aux asymptotes verticales, dont le nombre n'est pas limité : une fonction comme $\tan x$ en possède une infinité.

Piège fréquent — Ne calculer que la limite en

+\infty

et manquer une seconde asymptote du côté négatif.

10.Courte démarcheMoyen§2.7· 5 min

Formes indéterminées — conjugué

Calcule

\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x}

Voir un indice

Indice

La factorisation ne mène nulle part avec un radical. Quelle autre technique fait disparaître une racine ?

Voir la réponse finale

Réponse finale

\dfrac{1}{6}

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Évaluation directe. $\dfrac{\sqrt{9}-3}{0} = \dfrac{3-3}{0} = \dfrac{0}{0}.$ Forme indéterminée.
Multiplication par le conjugué. Le conjugué de $\sqrt{x+9}-3$ est $\sqrt{x+9}+3$ . On multiplie en haut et en bas : $\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{x+9}+3}{\sqrt{x+9}+3}.$
Développement du numérateur, par $(\alpha-\beta)(\alpha+\beta) = \alpha^{2}-\beta^{2}$ : $\left(\sqrt{x+9}\right)^{2} - 3^{2} = (x+9) - 9 = x.$
On ne développe surtout pas le dénominateur : c'est là qu'on veut garder la forme factorisée.
Simplification. $\dfrac{x}{x\left(\sqrt{x+9}+3\right)} = \dfrac{1}{\sqrt{x+9}+3}, \qquad x \neq 0.$
Évaluation. $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{9}+3} = \dfrac{1}{6}.$

Piège fréquent — Développer aussi le dénominateur, ce qui fait disparaître le facteur

x

qu'on cherchait à simplifier.

11.Vrai ou fauxMoyen§2.7· 3 min

Formes indéterminées

Vrai ou faux ? Une limite de la forme

\infty - \infty

vaut toujours

0

, puisque les deux infinis se compensent.

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Indice

Si le résultat était toujours le même, la forme ne serait pas dite « indéterminée ». Cherche deux exemples aux résultats différents.

Voir la réponse finale

Réponse finale

Faux

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Le mot indéterminée signifie précisément que la forme ne détermine pas le résultat : celui-ci dépend des fonctions en présence.
Trois exemples suffisent à le montrer, tous de la forme $+\infty - \infty$ :
Résultat infini. $\lim_{x \to +\infty}\left(2x^{3}-5x^{2}\right) = \lim_{x \to +\infty} x^{3}\left(2 - \dfrac{5}{x}\right) = +\infty.$
Résultat fini non nul. $\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x^{2}+4x}-x\right) = 2.$
Résultat nul. $\lim_{x \to +\infty}\left[(x+1) - x\right] = \lim_{x \to +\infty} 1 = 1.$ Ou encore, plus directement : $\lim_{x \to +\infty}(x - x) = 0.$
Trois expressions de même forme, trois résultats différents : $+\infty$ , $2$ et $0$ .
L'énoncé est donc faux. Il n'existe aucun raccourci : chaque cas exige une manipulation algébrique.

Piège fréquent — Traiter les symboles

\infty

comme des nombres qu'on peut soustraire l'un de l'autre.

12.Courte démarcheMoyen§2.7· 5 min

Formes indéterminées — produit zéro fois l'infini

Calcule

\displaystyle\lim_{x \to 3}\;(x-3)\cdot\dfrac{1}{x^{2}-9}

Voir un indice

Indice

Effectue le produit, puis regarde si le dénominateur se factorise. Un facteur devrait se simplifier.

Voir la réponse finale

Réponse finale

\dfrac{1}{6}

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Évaluation directe. Le premier facteur $(x-3)$ tend vers $0$ . Pour le second, le dénominateur $x^{2}-9$ tend vers $0$ et le numérateur vaut $1$ , donc il tend vers l'infini.
La forme est $0 \times \infty$ : indéterminée.
Réécriture en quotient. On effectue le produit : $(x-3)\cdot\dfrac{1}{x^{2}-9} = \dfrac{x-3}{x^{2}-9}.$
L'évaluation donne maintenant $\dfrac{0}{0}$ : on est ramené à une forme qu'on traite par factorisation.
Factorisation du dénominateur. $x^{2}-9 = (x-3)(x+3).$
Simplification. $\dfrac{x-3}{(x-3)(x+3)} = \dfrac{1}{x+3}, \qquad x \neq 3.$
Évaluation. $\lim_{x \to 3}\;(x-3)\cdot\dfrac{1}{x^{2}-9} = \dfrac{1}{3+3} = \dfrac{1}{6}.$

Piège fréquent — Conclure que la limite vaut

0

parce que le facteur

(x-3)

tend vers

0

12 exercices disponibles — 48 autres avec le package.

3. Continuité, fonctions par parties et théorèmes

8 exercices ici.

1.Courte démarcheMoyen§3.1· 5 min

La continuité en un point

Étudie la continuité de

\displaystyle f(x) = \dfrac{x^{2}-1}{x-1}

x = 1

, et précise le type de discontinuité s'il y a lieu.

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Indice

Commence par C1. Si elle échoue, inutile de poursuivre — mais calcule tout de même la limite pour classer la discontinuité.

Voir la réponse finale

Réponse finale

Discontinue en

x = 1

(C1 échoue) ; discontinuité par trou, la limite valant

2

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Condition C1. On tente d'évaluer : $f(1) = \dfrac{1-1}{1-1} = \dfrac{0}{0}.$ Cette expression n'a aucun sens : $f(1)$ n'existe pas. La condition C1 échoue.
Conclusion immédiate. $f$ est discontinue en $x = 1$ .
De quel type ? Pour classer la discontinuité, on calcule la limite. L'évaluation directe donne $\frac{0}{0}$ : on factorise.
$\dfrac{x^{2}-1}{x-1} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1, \qquad x \neq 1.$
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1}(x+1) = 2.$
La limite existe et vaut $2$ , mais $f(1)$ n'existe pas : c'est une discontinuité par trou.
Elle est réparable : en posant $f(1) = 2$ , la fonction deviendrait continue. Graphiquement, il suffirait de « boucher le trou ».

Piège fréquent — S'arrêter à « C1 échoue donc discontinue » sans calculer la limite, ce qui empêche de classer la discontinuité.

2.Courte démarcheMoyen§3.1· 5 min

La continuité en un point

Soit

g(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{2}-9}{x-3} & \text{si } x \neq 3, \\[0.6em] 2 & \text{si } x = 3. \end{cases}

Étudie la continuité de

g

x = 3

Voir un indice

Indice

Ici

g(3)

est défini par l'énoncé : C1 passe. Le problème se situe ailleurs.

Voir la réponse finale

Réponse finale

Discontinue en

x = 3

: C3 échoue, car la limite vaut

6

alors que

g(3) = 2

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Démarche détaillée

Condition C1. La définition par parties impose directement $g(3) = 2$ . La valeur existe : C1 est satisfaite.
Condition C2. Pour $x \neq 3$ , on utilise la première branche. L'évaluation directe donne $\frac{0}{0}$ , alors on factorise : $\dfrac{x^{2}-9}{x-3} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3, \qquad x \neq 3.$
$\lim_{x \to 3} g(x) = \lim_{x \to 3}(x+3) = 6.$ La limite existe : C2 est satisfaite.
Condition C3. On compare : $\lim_{x \to 3} g(x) = 6 \qquad \text{mais} \qquad g(3) = 2.$
Comme $6 \neq 2$ , la condition C3 échoue.
Conclusion. $g$ est discontinue en $x = 3$ . C'est une discontinuité par trou : la valeur $g(3) = 2$ est mal placée.
En posant plutôt $g(3) = 6$ , la fonction deviendrait continue. Graphiquement, le point isolé en $(3,2)$ devrait être déplacé en $(3,6)$ .

Piège fréquent — Conclure à la continuité parce que C1 et C2 passent, sans effectuer la comparaison de C3.

3.Courte démarcheFacile§3.2· 4 min

La continuité sur un intervalle ouvert

Sur quel intervalle ouvert la fonction

f(x) = \sqrt{x-2}

est-elle continue ?

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Indice

Détermine d'abord le domaine. L'intervalle ouvert de continuité s'en déduit directement.

Voir la réponse finale

Réponse finale

Sur

]2, +\infty[

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Domaine. La racine est d'indice pair, donc le radicande doit être positif ou nul : $x - 2 \geq 0 \iff x \geq 2.$
$\mathrm{dom}\,f = [2, +\infty[.$
Continuité. Les fonctions avec radicaux sont continues sur tout leur domaine, par le théorème du cours.
Intervalle ouvert. La question demande un intervalle ouvert, ce qui exclut la borne $2$ : $]2, +\infty[.$
Pourquoi exclure $2$ ? En $x = 2$ , la fonction est bien définie ( $f(2) = 0$ ), mais on ne peut l'approcher que par la droite : à gauche, elle n'existe pas.
La continuité sur un intervalle ouvert, telle que définie dans le cours, évite précisément ce genre de situation aux bornes.

Piège fréquent — Donner

[2, +\infty[

alors que la question demande explicitement un intervalle ouvert.

4.Courte démarcheFacile§3.3· 5 min

Continuité d'une fonction définie par parties

Soit

g(x) = \begin{cases} x+2 & \text{si } x < 1, \\ 3x-1 & \text{si } x \geq 1. \end{cases}

Étudie la continuité de

g

x = 1

et précise le type de discontinuité s'il y a lieu.

Voir un indice

Indice

Calcule les deux limites latérales avant de conclure. Si elles diffèrent, quelle condition échoue ?

Voir la réponse finale

Réponse finale

Discontinue en

x = 1

: C2 échoue (limite à gauche

= 3

, limite à droite

= 2

) ; discontinuité par saut

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Démarche détaillée

Étape 1 — Calcul de $g(1)$ . Le symbole $\geq$ place $x=1$ dans la seconde branche : $g(1) = 3(1) - 1 = 2.$ C1 est satisfaite.
Étape 2 — Limite à gauche. Pour $x < 1$ , on utilise $x+2$ : $\lim_{x \to 1^{-}} g(x) = 1 + 2 = 3.$
Étape 3 — Limite à droite. Pour $x > 1$ , on utilise $3x-1$ : $\lim_{x \to 1^{+}} g(x) = 3 - 1 = 2.$
Étape 4 — Comparaison. Les deux limites latérales existent mais diffèrent : $3 \neq 2.$
La limite globale n'existe donc pas : la condition C2 échoue.
Conclusion. $g$ est discontinue en $x = 1$ . Comme les deux limites latérales sont finies mais différentes, il s'agit d'une discontinuité par saut.
L'amplitude du saut vaut $|3 - 2| = 1$ unité. Contrairement à une discontinuité par trou, elle n'est pas réparable : aucune redéfinition de $g(1)$ ne pourrait rendre la fonction continue.

Piège fréquent — Conclure à la continuité parce que

g(1)

coïncide avec l'une des deux limites latérales.

5.Courte démarcheMoyen§3.3· 6 min

Continuité d'une fonction définie par parties

Soit

f(x) = \begin{cases} \dfrac{|x|}{x} & \text{si } x \neq 0, \\[0.6em] 1 & \text{si } x = 0. \end{cases}

Étudie la continuité de

f

x = 0

Voir un indice

Indice

Comment s'écrit

|x|

sans les barres, selon le signe de

x

? Cela te donnera deux expressions différentes de chaque côté.

Voir la réponse finale

Réponse finale

Discontinue en

x = 0

: C2 échoue (limite à gauche

= -1

, limite à droite

= 1

) ; discontinuité par saut

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Condition C1. La définition impose $f(0) = 1$ . La valeur existe : C1 est satisfaite.
Condition C2. Il faut lever la valeur absolue, qui se comporte différemment selon le signe de $x$ : $|x| = \begin{cases} x & \text{si } x > 0, \\ -x & \text{si } x < 0. \end{cases}$
Limite à droite. Si $x > 0$ , alors $|x| = x$ : $\lim_{x \to 0^{+}}\dfrac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^{+}}\dfrac{x}{x} = 1.$
Limite à gauche. Si $x < 0$ , alors $|x| = -x$ : $\lim_{x \to 0^{-}}\dfrac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^{-}}\dfrac{-x}{x} = -1.$
Les deux limites latérales existent mais diffèrent ( $-1 \neq 1$ ) : la condition C2 échoue.
Conclusion. $f$ est discontinue en $x = 0$ , par saut d'amplitude $2$ .
Cette fonction vaut $-1$ pour tout $x$ négatif et $1$ pour tout $x$ positif. Le choix de poser $f(0) = 1$ ne change rien : aucune valeur ponctuelle ne pourrait réconcilier deux limites latérales opposées.

Piège fréquent — Simplifier

\frac{|x|}{x}

1

sans distinguer le signe de

x

6.Vrai ou fauxMoyen§3.3· 3 min

Continuité d'une fonction définie par parties

Vrai ou faux ? Pour une fonction définie par parties dont chaque branche est un polynôme, il suffit de vérifier la continuité aux points de jonction.

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Indice

Que sait-on de la continuité d'un polynôme ? Où pourrait-il y avoir un problème ailleurs qu'aux jonctions ?

Voir la réponse finale

Réponse finale

Vrai

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Une fonction définie par parties se comporte, à l'intérieur de chaque morceau, exactement comme la branche correspondante.
Or les fonctions polynomiales sont continues sur $\mathbb{R}$ tout entier, par le théorème du cours.
En tout point strictement intérieur à un morceau, la fonction coïncide donc avec un polynôme sur tout un voisinage : elle y est continue.
Les seuls endroits où un problème peut survenir sont les points de jonction, là où l'on passe d'une branche à l'autre.
L'énoncé est donc vrai.
Nuance importante. Cette conclusion dépend du fait que les branches sont des polynômes. Si l'une d'elles était par exemple $\frac{1}{x-5}$ , il faudrait aussi vérifier $x = 5$ , au cas où cette valeur tomberait à l'intérieur du morceau concerné.
C'est ce qui justifie la méthode du cours : on se concentre sur les points de jonction, après s'être assuré que chaque branche est continue sur son propre morceau.

Piège fréquent — Généraliser la règle à des branches non polynomiales, sans vérifier leur propre domaine.

7.Courte démarcheDifficile§3.4· 8 min

Théorèmes sur la continuité

Détermine où la fonction

f(x) = \sqrt{x^{2}-9}

est continue.

Voir un indice

Indice

C'est une composée. Il faut que l'expression intérieure appartienne au domaine de la racine carrée. Cela donne une inéquation à résoudre par tableau de signes.

Voir la réponse finale

Réponse finale

Sur

]-\infty, -3]

[3, +\infty[

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Étape 1 — Décomposer. On peut voir $f$ comme la composée de $u(x) = x^{2}-9 \qquad \text{et} \qquad r(t) = \sqrt{t}.$
Étape 2 — Continuité de chaque morceau. La fonction $u$ est polynomiale, donc continue sur $\mathbb{R}$ . La fonction $r$ est continue sur son domaine $[0, +\infty[$ .
Étape 3 — Appliquer le théorème de composition. La composée est continue partout où $u(x)$ appartient au domaine de $r$ , c'est-à-dire là où $x^{2}-9 \geq 0.$
Étape 4 — Résoudre l'inéquation. On factorise : $(x-3)(x+3) \geq 0.$
Un produit de deux facteurs est positif quand ils sont de même signe. On dresse le tableau de signes autour de $-3$ et $3$ :
p{2.6cm}|>{}p{2.4cm}|>{}p{2.4cm}|>{}p{2.4cm}} $x < -3$ $-3 < x < 3$ $x > 3$
$x-3$ $-$ $-$ $+$
$x+3$ $-$ $+$ $+$
$(x-3)(x+3)$ $+$ $-$ $+$
Étape 5 — Conclure. Le domaine est $]-\infty, -3] \cup [3, +\infty[$ , et $f$ est continue sur tout ce domaine.
Aux bornes $x = \pm 3$ , la fonction est définie ( $f(\pm 3) = 0$ ) et continue : comme le domaine s'arrête là, la continuité s'y entend d'un seul côté (continuité unilatérale).

p{2.6cm}\|>{}p{2.4cm}\|>{}p{2.4cm}\|>{}p{2.4cm}}	$x < -3$	$-3 < x < 3$	$x > 3$
$x-3$	$-$	$-$	$+$
$x+3$	$-$	$+$	$+$
$(x-3)(x+3)$	$+$	$-$	$+$

Piège fréquent — Résoudre

x^{2} \geq 9

en écrivant

x \geq 3

et oublier la branche négative.

8.Choix multipleDifficile§3.4· 4 min

Théorèmes sur la continuité

Le théorème sur la continuité d'une composée

f \circ g

x = a

exige que :

Voir un indice

Indice

Dans

f\bigl(g(x)\bigr)

, quelle fonction s'applique en premier ? Et à quelle valeur la seconde s'applique-t-elle ensuite ?

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Réponse finale

g

soit continue en

a

f

continue en

g(a)

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Dans la composée $(f \circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr)$ , c'est la fonction intérieure $g$ qui s'applique en premier.
Le théorème du cours exige donc :
- que $g$ soit continue en $a$ ;
- que $f$ soit continue en $g(a)$ , c'est-à-dire au point où $g$ aboutit.
Le point d'évaluation de $f$ est $g(a)$ , pas $a$ — c'est la subtilité de l'énoncé.
Exemple. Pour $f(x) = \sqrt{x-1}$ en $a = 5$ : la fonction intérieure $u(x) = x-1$ est continue en $5$ , et $u(5) = 4$ .
Il faut alors que la racine carrée soit continue en $4$ — ce qui est le cas, puisque $4 \geq 0$ .
En revanche, en $a = 0$ : $u(0) = -1$ , et la racine carrée n'est pas définie en $-1$ . La composée n'est donc pas continue en $0$ — elle n'y est même pas définie.

Piège fréquent — Évaluer la continuité de la fonction extérieure en

a

plutôt qu'en

g(a)

8 exercices disponibles — 22 autres avec le package.

4. La dérivée : taux de variation et définition par la limite

9 exercices ici.

1.Vrai ou fauxFacile§4.1· 3 min

Le taux de variation moyen

Vrai ou faux ? Le taux de variation moyen d'une fonction dépend de l'intervalle sur lequel on le calcule.

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Indice

Prends une fonction simple et calcule son TVM sur deux intervalles différents. Obtiens-tu la même valeur ?

Voir la réponse finale

Réponse finale

Vrai

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Le TVM se définit toujours par rapport à un intervalle précis : $\text{TVM} = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.$
Changer $a$ ou $b$ change généralement le résultat.
Exemple. Pour $f(x) = x^{2}$ : $\begin{aligned} \text{sur } [0,1] &: \quad \dfrac{1-0}{1} = 1, \\ \text{sur } [1,2] &: \quad \dfrac{4-1}{1} = 3, \\ \text{sur } [2,3] &: \quad \dfrac{9-4}{1} = 5. \end{aligned}$
Trois intervalles de même longueur, trois TVM différents. L'énoncé est donc vrai.
C'est pourquoi on ne dit jamais « le TVM de $f$ » tout court, mais toujours « le TVM de $f$ entre $a$ et $b$ ».
Une exception notable : pour une fonction affine $f(x) = mx + b$ , le TVM vaut $m$ sur n'importe quel intervalle. C'est précisément ce qui caractérise une droite.

Piège fréquent — Énoncer un TVM sans préciser l'intervalle auquel il se rapporte.

2.Courte démarcheMoyen§4.2· 5 min

Du taux moyen au taux instantané

La position d'un mobile est

s(t) = t^{2} + 3t

, où

s

est en mètres et

t

en secondes. Calcule sa vitesse instantanée à

t = 2

~s par la définition, avec les unités.

Voir un indice

Indice

Écris d'abord la limite, puis factorise le numérateur en vérifiant qu'il s'annule bien en

t=2

Voir la réponse finale

Réponse finale

7

m/s

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Écrire la définition. $v(2) = \lim_{t \to 2}\dfrac{s(t)-s(2)}{t-2}.$
Calculer $s(2)$ . $s(2) = 4 + 6 = 10 \ \text{m}.$
Substituer. $\lim_{t \to 2}\dfrac{t^{2}+3t-10}{t-2}.$
Vérifier la forme. En $t=2$ : $4+6-10 = 0$ au numérateur et $0$ au dénominateur. Forme $\dfrac{0}{0}$ .
Factoriser. On cherche deux nombres de produit $-10$ et de somme $3$ : ce sont $5$ et $-2$ . $t^{2}+3t-10 = (t+5)(t-2).$
$\dfrac{(t+5)(t-2)}{t-2} = t+5, \qquad t \neq 2.$
Évaluer. $v(2) = \lim_{t \to 2}(t+5) = 7.$
Unités et interprétation. La vitesse est en m/s. À l'instant précis $t = 2$ ~s, le mobile se déplace à $7$ ~m/s.

Piège fréquent — Se tromper de signes en factorisant et obtenir

(t-5)(t+2)

3.Vrai ou fauxMoyen§4.2· 3 min

Du taux moyen au taux instantané

Vrai ou faux ? Le taux de variation moyen d'une fonction sur un intervalle ne peut jamais être égal à son taux de variation instantané en un point de cet intervalle.

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Indice

Pense à une fonction dont le taux de variation est le même partout. Que vaut alors chacune des deux mesures ?

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Réponse finale

Faux

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Rien n'interdit aux deux mesures de coïncider — c'est même systématique pour certaines fonctions.
Contre-exemple simple. Soit la fonction affine $f(x) = 3x + 1$ .
Son TVM sur n'importe quel intervalle $[a,b]$ vaut $\dfrac{(3b+1)-(3a+1)}{b-a} = \dfrac{3(b-a)}{b-a} = 3.$
Son TVI en n'importe quel point vaut également $3$ , puisque la tangente à une droite est la droite elle-même.
Les deux mesures coïncident donc partout : l'énoncé est faux.
Autre exemple. Pour $f(x) = x^{2}$ sur $[0, 2]$ , le TVM vaut $\dfrac{4-0}{2} = 2$ . Or le TVI en $x = 1$ vaut aussi $2$ .
Ici l'égalité ne tient qu'en un point bien précis de l'intervalle, mais elle existe bel et bien.

Piège fréquent — Croire que la distinction entre TVM et TVI implique qu'ils soient toujours différents.

4.Vrai ou fauxFacile§4.3· 3 min

La dérivée : définition et notations

Vrai ou faux ? La notation

\dfrac{dy}{dx}

désigne une véritable fraction, dont on peut séparer le numérateur

dy

et le dénominateur

dx

Voir un indice

Indice

Relis l'encadré « Attention » de la section 4.3. Que dit-il du statut de cette notation ?

Voir la réponse finale

Réponse finale

Faux

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

La notation $\dfrac{dy}{dx}$ est un symbole global qui signifie « dérivée de $y$ par rapport à $x$ ». Les éléments $dy$ et $dx$ ne sont pas des nombres qu'on peut isoler.
L'énoncé est donc faux.
D'où vient alors cette forme de fraction ? Elle rappelle son origine : le quotient $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ du taux de variation moyen, dont la dérivée est la limite quand $\Delta x \to 0$ .
Cette parenté rend la notation très commode. Elle indique immédiatement les unités — si $y$ est en mètres et $x$ en secondes, $\frac{dy}{dx}$ est en m/s.
Elle rend aussi la dérivation en chaîne très lisible : $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx},$ où les $du$ semblent se simplifier. Mais ce n'est qu'un moyen mnémotechnique, pas une simplification de fraction au sens algébrique.

Piège fréquent — Manipuler

dy

dx

comme des quantités algébriques indépendantes.

5.Courte démarcheFacile§4.4· 4 min

Calculer une dérivée à partir de la définition

Soit

f(x) = 7

, une fonction constante. Calcule sa dérivée à partir de la définition et interprète le résultat.

Voir un indice

Indice

Que vaut

f(x+h)

pour une fonction constante ? La réponse est plus simple qu'il n'y paraît.

Voir la réponse finale

Réponse finale

f'(x) = 0

: le graphique est une droite horizontale, de pente nulle

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Étape 1 — Calculer $f(x+h)$ . La fonction vaut $7$ quelle que soit la valeur d'entrée : $f(x+h) = 7.$
Étape 2 — Former la différence. $f(x+h) - f(x) = 7 - 7 = 0.$
Étape 3 — Diviser par $h$ . $\dfrac{0}{h} = 0, \qquad h \neq 0.$
Noter que $\dfrac{0}{h}$ vaut bien $0$ tant que $h \neq 0$ : il n'y a aucune indétermination ici.
Étape 4 — Évaluer la limite. $f'(x) = \lim_{h \to 0} 0 = 0.$
Interprétation. Le graphique de $f$ est une droite horizontale, dont la pente est nulle en tout point. La fonction ne varie jamais, donc son taux de variation est nul partout.
Ce résultat se généralise : la dérivée de toute fonction constante est $0$ .

Piège fréquent — Croire que

f(x+h) = 7 + h

, en appliquant le décalage à la valeur de sortie plutôt qu'à l'entrée.

6.Choix multipleMoyen§4.5· 3 min

La dérivée en un point et son interprétation

Le nombre

f'(3) = 5

peut s'interpréter de plusieurs façons. Laquelle des affirmations suivantes est incorrecte ?

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Indice

Trois de ces lectures figurent dans l'encadré du cours. La quatrième confond deux quantités bien distinctes.

Voir la réponse finale

Réponse finale

La valeur de la fonction en

x=3

est

5

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Le cours énonce trois lectures équivalentes du nombre $f'(a)$ :
(1) Géométrique. C'est la pente de la tangente à la courbe au point $\bigl(a, f(a)\bigr)$ .
(2) En termes de variation. C'est le taux de variation instantané de $f$ en $x = a$ .
(3) En termes de vitesse. C'est la vitesse à laquelle $y$ varie par rapport à $x$ au moment où $x = a$ .
Appliquées à $f'(3) = 5$ , ces trois lectures donnent : la tangente au point d'abscisse $3$ a une pente de $5$ ; le TVI en $x=3$ vaut $5$ ; au moment où $x$ vaut $3$ , $y$ augmente $5$ fois plus vite que $x$ .
L'affirmation (c) n'en fait pas partie : elle prétend que la valeur de la fonction en $x=3$ est $5$ , ce qui confond $f'(3)$ avec $f(3)$ .
Ce sont deux quantités sans rapport. Une fonction peut valoir $100$ en $x=3$ tout en y ayant une dérivée nulle, ou valoir $0$ tout en y croissant très vite.

Piège fréquent — Confondre la valeur de la fonction et la valeur de sa dérivée en un même point.

7.Courte démarcheMoyen§4.6· 6 min

La dérivabilité

Montre que

f(x) = |x|

n'est pas dérivable en

x = 0

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Indice

Écris le taux de variation moyen en

0

, puis calcule ses deux limites latérales séparément. Comment s'écrit

|h|

selon le signe de

h

Voir la réponse finale

Réponse finale

Les limites latérales du quotient valent

1

-1

: elles diffèrent, donc

f'(0)

n'existe pas

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Étape 1 — Écrire le taux de variation moyen en $0$ . Comme $f(0) = |0| = 0$ : $\dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \dfrac{|h| - 0}{h} = \dfrac{|h|}{h}.$
Étape 2 — Limite à droite. Si $h > 0$ , alors $|h| = h$ : $\lim_{h \to 0^{+}}\dfrac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^{+}}\dfrac{h}{h} = 1.$
Étape 3 — Limite à gauche. Si $h < 0$ , alors $|h| = -h$ : $\lim_{h \to 0^{-}}\dfrac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^{-}}\dfrac{-h}{h} = -1.$
Étape 4 — Conclure. Les deux limites latérales existent mais diffèrent : $1 \neq -1.$
La limite $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{|h|}{h}$ n'existe donc pas, et $f$ n'est pas dérivable en $x = 0$ .
Lecture graphique. À droite de $0$ , la courbe a une pente de $1$ ; à gauche, une pente de $-1$ . Il y a un point anguleux : aucune tangente unique ne peut y être tracée.
Remarque importante. La fonction est pourtant continue en $0$ : on peut tracer son graphique sans lever le crayon. C'est le contre-exemple classique montrant que la continuité n'entraîne pas la dérivabilité.

Piège fréquent — Simplifier

\frac{|h|}{h}

1

sans distinguer le signe de

h

8.Vrai ou fauxMoyen§4.6· 4 min

La dérivabilité

Vrai ou faux ? Si une fonction est continue en un point, alors elle y est dérivable.

Voir un indice

Indice

Le théorème du cours énonce une implication. Va-t-elle dans ce sens-là, ou dans l'autre ?

Voir la réponse finale

Réponse finale

Faux

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Le théorème du cours énonce l'implication dans le sens inverse : $\text{dérivable en } a \quad \Longrightarrow \quad \text{continue en } a.$
L'énoncé propose la réciproque, qui est fausse.
Contre-exemple. Soit $f(x) = |x|$ en $x = 0$ .
Cette fonction est continue en $0$ : on vérifie les trois conditions du chapitre 3, et $\displaystyle\lim_{x\to 0}|x| = 0 = f(0)$ .
Mais elle n'y est pas dérivable : les limites latérales du taux de variation moyen valent $1$ et $-1$ .
La continuité ne suffit donc pas à garantir la dérivabilité. L'énoncé est faux.
La hiérarchie correcte est la suivante : $\text{dérivable} \implies \text{continue}, \qquad \text{mais} \qquad \text{continue} \;\not\!\!\implies \text{dérivable}.$
Autrement dit, la dérivabilité est une condition plus forte que la continuité : elle exige non seulement l'absence de coupure, mais aussi l'absence de coin ou de tangente verticale.

Piège fréquent — Inverser le sens de l'implication du théorème.

9.Problème completDifficile§4.6· 12 min

La dérivabilité

Soit

f(x) = \begin{cases} x^{2} & \text{si } x \leq 1, \\ x & \text{si } x > 1. \end{cases}

(a) Montre que

f

est continue en

x = 1

.
(b) Calcule

\displaystyle\lim_{h \to 0^{-}} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}

\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}

.
(c) La fonction est-elle dérivable en

x = 1

? Que peut-on en conclure ?

Voir un indice

Indice

Pour (b), la branche à utiliser dépend du signe de

h

: si

h < 0

alors

1+h < 1

, et c'est la branche

x^{2}

qui s'applique.

Voir la réponse finale

Réponse finale

(a) continue (b) limite à gauche

= 2

, limite à droite

= 1

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

(a) Continuité en $x=1$ . On vérifie les trois conditions du chapitre 3.
C1. Le symbole $\leq$ place $x=1$ dans la première branche : $f(1) = 1^{2} = 1. \quad \checkmark$
C2. Les deux limites latérales : $\begin{aligned} \lim_{x \to 1^{-}} f(x) &= \lim_{x \to 1^{-}} x^{2} = 1, \\ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) &= \lim_{x \to 1^{+}} x = 1. \end{aligned}$
Elles sont égales, donc $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x) = 1$ existe. $\checkmark$
C3. $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x) = 1 = f(1)$ . $\checkmark$
Les trois conditions sont remplies : $f$ est continue en $x = 1$ .
(b) Les deux limites latérales. Comme $f(1) = 1$ , le quotient s'écrit $\dfrac{f(1+h) - f(1)}{h} = \dfrac{f(1+h) - 1}{h}.$
Limite à gauche. Si $h < 0$ , alors $1+h < 1$ et c'est la branche $x^{2}$ qui s'applique : $\begin{aligned} \lim_{h \to 0^{-}}\dfrac{(1+h)^{2} - 1}{h} &= \lim_{h \to 0^{-}}\dfrac{1 + 2h + h^{2} - 1}{h} \\ &= \lim_{h \to 0^{-}}\dfrac{h(2+h)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0^{-}}(2+h) = 2. \end{aligned}$
Limite à droite. Si $h > 0$ , alors $1+h > 1$ et c'est la branche $x$ qui s'applique : $\lim_{h \to 0^{+}}\dfrac{(1+h) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^{+}}\dfrac{h}{h} = 1.$
(c) Conclusion. Les deux limites latérales existent mais diffèrent : $2 \neq 1.$
La limite du taux de variation moyen n'existe donc pas : $f$ n'est pas dérivable en $x = 1$ .
Ce que cet exemple montre. La fonction est continue en $1$ sans y être dérivable. C'est une nouvelle illustration du fait que la continuité est une condition nécessaire mais non suffisante de la dérivabilité.
Graphiquement, les deux branches se raccordent sans coupure, mais avec des pentes différentes ( $2$ et $1$ ) : la courbe présente un point anguleux en $(1,1)$ .

Piège fréquent — Utiliser la même branche pour les deux limites latérales, en oubliant que le signe de

h

détermine de quel côté de

1

on se trouve.

9 exercices disponibles — 26 autres avec le package.

5. Règles de dérivation, dérivation en chaîne et dérivation implicite

12 exercices ici.

1.Courte démarcheFacile§5.1· 3 min

Formules de dérivation des fonctions élémentaires

Dérive les fonctions suivantes en réécrivant d'abord chaque expression sous forme de puissance.
(a)

g(x) = \dfrac{1}{x^{4}}

(b)

h(x) = \sqrt[3]{x}

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Indice

La règle de la puissance

\frac{d}{dx}(x^r) = r\,x^{r-1}

vaut pour tout exposant réel. Quel exposant correspond à

\frac{1}{x^4}

? Et à une racine cubique ?

Voir la réponse finale

Réponse finale

(a)

g'(x) = -\dfrac{4}{x^{5}}

(b)

h'(x) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

(a) On réécrit sous forme de puissance : $g(x) = \dfrac{1}{x^{4}} = x^{-4}$ .
On applique la règle de la puissance avec $r = -4$ : $g'(x) = -4\,x^{-4-1} = -4x^{-5}.$
On revient à la notation fractionnaire : $g'(x) = -\dfrac{4}{x^{5}}.$
(b) On réécrit le radical : $h(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ .
On applique la règle avec $r = \dfrac{1}{3}$ : $h'(x) = \dfrac{1}{3}\,x^{\frac{1}{3}-1} = \dfrac{1}{3}\,x^{-2/3}.$
On revient à la notation avec radical : $h'(x) = \dfrac{1}{3\,x^{2/3}} = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}.$

Piège fréquent — Dériver sans avoir réécrit sous forme de puissance, et appliquer la règle de la puissance à un dénominateur.

2.Courte démarcheMoyen§5.3· 4 min

La règle du produit et la règle du quotient

Détermine

f'(x)

f(x) = \dfrac{2x - 3}{x^{2} + 1}

Voir un indice

Indice

Identifie clairement le « haut » et le « bas » avant de commencer. Dans quel ordre les deux termes du numérateur apparaissent-ils, et où se place le signe moins ?

Voir la réponse finale

Réponse finale

f'(x) = \dfrac{-2x^{2} + 6x + 2}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

On identifie le haut et le bas : $u(x) = 2x - 3 \qquad \text{et} \qquad v(x) = x^{2} + 1.$
On dérive chacun : $u'(x) = 2 \qquad \text{et} \qquad v'(x) = 2x.$
On applique la règle du quotient $\dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}$ : $f'(x) = \dfrac{2\left(x^{2}+1\right) - (2x-3)(2x)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.$
On développe le numérateur, en faisant attention au signe devant la parenthèse : $\begin{aligned} 2\left(x^{2}+1\right) - (2x-3)(2x) &= 2x^{2} + 2 - \left(4x^{2} - 6x\right) \\ &= 2x^{2} + 2 - 4x^{2} + 6x \\ &= -2x^{2} + 6x + 2. \end{aligned}$
D'où $f'(x) = \dfrac{-2x^{2} + 6x + 2}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.$
Le domaine ne pose aucun problème ici : $x^{2}+1 > 0$ pour tout $x$ réel.

Piège fréquent — Oublier de distribuer le signe moins sur les deux termes du produit

(2x-3)(2x)

3.Courte démarcheMoyen§5.4· 3 min

La dérivation en chaîne

Détermine

\dfrac{dy}{dx}

y = \left(3x^{2} - 5\right)^{4}

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Indice

Développer la puissance quatrième serait absurde. Quelle est la fonction intérieure, et que vaut sa dérivée ?

Voir la réponse finale

Réponse finale

\dfrac{dy}{dx} = 24x\left(3x^{2}-5\right)^{3}

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

On identifie la fonction intérieure : $u(x) = 3x^{2} - 5.$
L'extérieure est la puissance quatrième : $y = u^{4}$ .
On dérive l'extérieure en gardant $u$ intact : $\dfrac{dy}{du} = 4u^{3} = 4\left(3x^{2}-5\right)^{3}.$
On dérive l'intérieure : $\dfrac{du}{dx} = 6x.$
On multiplie les deux : $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} = 4\left(3x^{2}-5\right)^{3} \cdot 6x.$
On simplifie le coefficient : $\dfrac{dy}{dx} = 24x\left(3x^{2}-5\right)^{3}.$

Piège fréquent — Écrire

4\left(3x^{2}-5\right)^{3}

et oublier de multiplier par la dérivée de l'intérieure.

4.Vrai ou fauxMoyen§5.7· 3 min

Démonstrations

Vrai ou faux ? La démonstration de la règle du produit s'appuie sur le fait qu'une fonction dérivable est nécessairement continue.

Voir un indice

Indice

Dans la démonstration, on doit évaluer

\lim_{h \to 0} f(x+h)

. Quelle propriété de

f

permet d'affirmer que cette limite vaut

f(x)

Voir la réponse finale

Réponse finale

Vrai

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

La démonstration part de la définition et introduit l'astuce d'ajouter et de soustraire le terme $f(x+h)g(x)$ , ce qui mène à $P'(x) = \lim_{h \to 0}\left[ f(x+h)\cdot\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} + g(x)\cdot\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \right].$
Les deux quotients tendent respectivement vers $g'(x)$ et $f'(x)$ , par définition de la dérivée.
Mais il reste le facteur $f(x+h)$ du premier terme. Pour conclure, il faut savoir que $\lim_{h \to 0} f(x+h) = f(x).$
Or c'est exactement la continuité de $f$ en $x$ . On l'obtient grâce au théorème du chapitre 4 : si $f$ est dérivable en un point, alors $f$ y est continue. Comme l'énoncé de la règle du produit suppose $f$ dérivable, $f$ est bien continue.
L'énoncé est donc vrai.
Sans cette étape, on ne pourrait pas remplacer $f(x+h)$ par $f(x)$ et la démonstration serait incomplète.

Piège fréquent — Croire que

\lim_{h\to 0} f(x+h) = f(x)

va de soi, sans justification.

5.Vrai ou fauxMoyen§5.2· 3 min

Les règles usuelles

Vrai ou faux ? Pour dériver le produit

(x+2)(x-5)

, on peut soit appliquer la règle du produit, soit développer d'abord l'expression puis dériver terme à terme : les deux méthodes donnent le même résultat.

Voir un indice

Indice

Essaie les deux chemins sur cet exemple précis et compare les résultats. Y a-t-il une raison pour qu'ils diffèrent ?

Voir la réponse finale

Réponse finale

Vrai

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Par la règle du produit. Avec $u = x+2$ et $v = x-5$ , on a $u' = 1$ et $v' = 1$ , donc $\left[(x+2)(x-5)\right]' = 1(x-5) + (x+2)(1) = x - 5 + x + 2 = 2x - 3.$
En développant d'abord. $(x+2)(x-5) = x^{2} - 5x + 2x - 10 = x^{2} - 3x - 10.$
On dérive ce polynôme terme à terme : $\left(x^{2} - 3x - 10\right)' = 2x - 3.$
Les deux méthodes donnent bien $2x - 3$ : l'énoncé est vrai.
C'est normal : les deux expressions désignent la même fonction, et une fonction n'a qu'une seule dérivée. Le choix de la méthode est une question d'efficacité, pas de justesse.
En pratique, développer est plus rapide pour un produit de deux binômes, mais devient impraticable pour un produit du type $x^{2}\sin x$ , où la règle du produit s'impose.

Piège fréquent — Croire que la règle du produit est obligatoire dès qu'il y a un produit, même quand le développement est trivial.

6.Vrai ou fauxMoyen§5.3· 3 min

La règle du produit et la règle du quotient

Vrai ou faux ? Dans la règle du quotient, on peut intervertir les deux termes du numérateur sans changer le résultat, comme on le fait dans la règle du produit.

Voir un indice

Indice

La règle du produit est une somme, celle du quotient est une différence. Que se passe-t-il quand on intervertit les termes d'une soustraction ?

Voir la réponse finale

Réponse finale

Faux

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

La règle du produit est une somme : $(fg)' = f'g + fg'.$
Comme l'addition est commutative, écrire $fg' + f'g$ donne exactement le même résultat. L'ordre y est effectivement indifférent.
La règle du quotient est une différence : $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^{2}}.$
Or la soustraction n'est pas commutative : intervertir les deux termes change le signe du numérateur, donc le signe de toute la dérivée.
Contre-exemple. Prenons $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$ , avec $u = x$ et $v = x+1$ .
Le bon ordre donne $f'(x) = \dfrac{(1)(x+1) - (x)(1)}{(x+1)^{2}} = \dfrac{1}{(x+1)^{2}},$ qui est positive.
L'ordre inversé donnerait $\dfrac{(x)(1) - (1)(x+1)}{(x+1)^{2}} = \dfrac{-1}{(x+1)^{2}},$ qui est négative. Les deux résultats sont opposés.
L'énoncé est donc faux.

Piège fréquent — Transposer à la règle du quotient la souplesse d'ordre qu'autorise la règle du produit.

7.Courte démarcheMoyen§5.5· 3 min

La dérivation implicite

Détermine

\dfrac{dy}{dx}

xy = 4

Voir un indice

Indice

Le membre de gauche est un produit de deux fonctions de

x

. Quelle règle faut-il appliquer avant même de penser à l'implicite ?

Voir la réponse finale

Réponse finale

\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{x}

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Le membre de gauche est un produit : il faut la règle du produit, avec les facteurs $x$ et $y$ .
On dérive les deux membres par rapport à $x$ : $(1)(y) + (x)\dfrac{dy}{dx} = 0.$
Le premier terme vient de la dérivée de $x$ (qui vaut $1$ ) multipliée par $y$ ; le second, de $x$ multiplié par la dérivée de $y$ .
On isole : $x\,\dfrac{dy}{dx} = -y.$
On divise par $x$ : $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{x}, \qquad x \neq 0.$
Vérification possible : en isolant $y = \dfrac{4}{x} = 4x^{-1}$ , on obtient $\dfrac{dy}{dx} = -4x^{-2} = -\dfrac{4}{x^{2}}$ . Et comme $y = \dfrac{4}{x}$ , on a bien $-\dfrac{y}{x} = -\dfrac{4}{x^{2}}$ .

Piège fréquent — Traiter

xy

comme un seul bloc et écrire directement

\frac{dy}{dx}

, en oubliant la règle du produit.

8.Problème completDifficile§5.5· 10 min

La dérivation implicite

Soit la courbe d'équation

x^{3} + y^{3} = 6xy

.
(a) Vérifie que le point

(3, 3)

appartient à la courbe.
(b) Détermine

\dfrac{dy}{dx}

et simplifie le résultat.
(c) Calcule la pente de la tangente au point

(3, 3)

Voir un indice

Indice

Les deux membres contiennent des termes à dériver : à gauche deux cubes, à droite un produit. N'oublie pas de dériver le membre de droite aussi.

Voir la réponse finale

Réponse finale

(a)

27 + 27 = 54 = 6(9)

(b)

\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2y - x^{2}}{y^{2} - 2x}

(c)

-1

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

(a) On substitue $x = 3$ et $y = 3$ dans chaque membre.
Membre de gauche : $3^{3} + 3^{3} = 27 + 27 = 54.$
Membre de droite : $6(3)(3) = 54.$
Les deux membres coïncident : le point $(3,3)$ appartient bien à la courbe.
(b) On dérive les deux membres par rapport à $x$ .
À gauche, chaque cube se dérive selon sa variable : $\dfrac{d}{dx}\left(x^{3} + y^{3}\right) = 3x^{2} + 3y^{2}\dfrac{dy}{dx}.$
À droite, $6xy$ est un produit : $\dfrac{d}{dx}(6xy) = 6\left[(1)(y) + (x)\dfrac{dy}{dx}\right] = 6y + 6x\dfrac{dy}{dx}.$
On assemble l'équation dérivée : $3x^{2} + 3y^{2}\dfrac{dy}{dx} = 6y + 6x\dfrac{dy}{dx}.$
On regroupe les termes en $\dfrac{dy}{dx}$ à gauche et les autres à droite : $3y^{2}\dfrac{dy}{dx} - 6x\dfrac{dy}{dx} = 6y - 3x^{2}.$
On met $\dfrac{dy}{dx}$ en évidence : $\dfrac{dy}{dx}\left(3y^{2} - 6x\right) = 6y - 3x^{2}.$
On isole, puis on simplifie par $3$ : $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{6y - 3x^{2}}{3y^{2} - 6x} = \dfrac{2y - x^{2}}{y^{2} - 2x}.$
(c) On évalue au point $(3,3)$ : $\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{(3,3)} = \dfrac{2(3) - 3^{2}}{3^{2} - 2(3)} = \dfrac{6 - 9}{9 - 6} = \dfrac{-3}{3} = -1.$
La tangente au point $(3,3)$ a donc une pente de $-1$ : elle fait un angle de $45^{\circ}$ avec l'horizontale, en descendant.

Piège fréquent — Oublier de dériver le membre de droite

6xy

, ou le dériver sans la règle du produit.

9.Vrai ou fauxMoyen§5.5· 2 min

La dérivation implicite

Vrai ou faux ? L'expression de

\dfrac{dy}{dx}

obtenue par dérivation implicite dépend généralement à la fois de

x

et de

y

Voir un indice

Indice

Repense aux exemples : celui du cercle, ou celui de

x^{2}y + y^{3} = 4

. Que contenaient les réponses ?

Voir la réponse finale

Réponse finale

Vrai

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

En dérivation explicite, on part de $y = f(x)$ et la dérivée s'exprime uniquement en fonction de $x$ .
En dérivation implicite, $y$ n'est jamais isolé. Quand on résout pour $\dfrac{dy}{dx}$ , les deux variables restent présentes dans l'expression obtenue.
Exemple du cercle $x^{2}+y^{2}=25$ : $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}.$
L'expression dépend bien des deux variables. C'est d'ailleurs nécessaire : au point $(3,4)$ la pente vaut $-\frac{3}{4}$ , alors qu'au point $(3,-4)$ elle vaut $+\frac{3}{4}$ . Une même abscisse peut correspondre à deux pentes différentes.
L'énoncé est donc vrai.
Conséquence pratique : pour évaluer une pente, il faut connaître les deux coordonnées du point, pas seulement son abscisse.

Piège fréquent — Croire qu'il faut absolument éliminer

y

de la réponse pour qu'elle soit correcte.

10.Vrai ou fauxFacile§5.6· 2 min

Les dérivées successives

Vrai ou faux ? La dérivée cinquième d'un polynôme de degré

4

est nulle.

Voir un indice

Indice

Que devient le degré d'un polynôme à chaque dérivation ? Après combien d'étapes atteint-on une constante ?

Voir la réponse finale

Réponse finale

Vrai

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Chaque dérivation fait baisser le degré de un.
Prenons un polynôme de degré $4$ , par exemple $P(x) = x^{4}$ : $\begin{aligned} P'(x) &= 4x^{3} && \text{(degré 3)} \\ P''(x) &= 12x^{2} && \text{(degré 2)} \\ P'''(x) &= 24x && \text{(degré 1)} \\ P^{(4)}(x) &= 24 && \text{(constante)} \\ P^{(5)}(x) &= 0. \end{aligned}$
Après $4$ dérivations, il ne reste qu'une constante ; la cinquième dérivation l'annule.
L'énoncé est donc vrai. Plus généralement, la dérivée d'ordre $n+1$ d'un polynôme de degré $n$ est toujours nulle.
Cela vaut pour n'importe quel polynôme de degré $4$ , pas seulement $x^{4}$ : les termes de degré inférieur s'annulent encore plus tôt.

Piège fréquent — Confondre l'ordre à partir duquel la dérivée devient constante (

n

) et celui à partir duquel elle devient nulle (

n+1

11.Choix multipleMoyen§5.7· 3 min

Démonstrations

Dans la démonstration de

\dfrac{d}{dx}(\sin x) = \cos x

à partir de la définition, quelle identité trigonométrique est utilisée pour développer

\sin(x+h)

Voir un indice

Indice

Le taux de variation moyen contient

\sin(x+h)

, soit le sinus d'une somme de deux angles. Quelle identité décompose cela ?

Voir la réponse finale

Réponse finale

La formule d'addition

\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

La démonstration part de la définition : $\dfrac{d}{dx}(\sin x) = \lim_{h \to 0}\dfrac{\sin(x+h) - \sin x}{h}.$
Le numérateur contient $\sin(x+h)$ : le sinus d'une somme de deux angles. C'est la formule d'addition qui permet de le décomposer : $\sin(x+h) = \sin x\cos h + \cos x\sin h.$
Le numérateur devient alors $\sin x\cos h + \cos x\sin h - \sin x = \sin x(\cos h - 1) + \cos x\sin h.$
Ce regroupement fait apparaître les deux limites trigonométriques admises, $\lim_{h\to 0}\dfrac{\cos h - 1}{h} = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h} = 1,$ qui permettent de conclure.
C'est pour cette raison que la formule d'addition figure parmi les identités du chapitre 1 : elle sert précisément ici.

Piège fréquent — Choisir l'identité de l'angle double, qui ne s'applique qu'à deux angles égaux.

12.Vrai ou fauxMoyen§5.7· 3 min

Démonstrations

Vrai ou faux ? Les deux limites

\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h} = 1

\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\cos h - 1}{h} = 0

sont démontrées dans le cours avant d'être utilisées.

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Indice

Relis l'encadré qui les introduit au chapitre 5. Quel mot y est employé pour décrire leur statut ?

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Réponse finale

Faux

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Démarche détaillée

Ces deux limites sont admises, et non démontrées. Le cours les introduit explicitement comme des résultats acceptés sans preuve, servant uniquement d'outil à la démonstration de $(\sin x)' = \cos x$ .
La première est rendue plausible par une vérification numérique, avec $h$ exprimé en radians : $\dfrac{\sin(0{,}1)}{0{,}1} \approx 0{,}9983, \qquad \dfrac{\sin(0{,}01)}{0{,}01} \approx 0{,}99998.$
Mais un tableau de valeurs n'est pas une démonstration : il suggère le résultat sans l'établir.
L'énoncé est donc faux.
Ces limites ne font d'ailleurs pas partie des formules à mémoriser du cours : elles n'apparaissent qu'au service de cette démonstration.
Note aussi qu'on ne peut pas les établir à l'aide de la règle de L'Hospital : cette règle exige de connaître la dérivée du sinus, qui est précisément ce qu'on cherche à démontrer. Le raisonnement serait circulaire.

Piège fréquent — Confondre une vérification numérique convaincante avec une démonstration.

12 exercices disponibles — 48 autres avec le package.

6. Étude de fonction : nombres critiques, extremums et concavité

9 exercices ici.

1.Vrai ou fauxMoyen§6.1· 3 min

La droite tangente

Vrai ou faux ? La tangente à une courbe en un point ne peut toucher cette courbe qu'en ce seul point.

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Indice

La tangence est une propriété locale. Rien n'empêche la droite de recroiser la courbe plus loin. Cherche un exemple avec une cubique.

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Réponse finale

Faux

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Démarche détaillée

La tangence est une propriété locale : elle décrit le comportement de la courbe au voisinage immédiat du point de contact. Elle ne dit rien de ce qui se passe ailleurs.
Contre-exemple. Soit $f(x) = x^{3}$ et cherchons la tangente en $x = 0$ .
On a $f(0) = 0$ et $f'(x) = 3x^{2}$ , donc $f'(0) = 0$ . La tangente est la droite horizontale $y = 0.$
Or cette droite coupe la courbe exactement là où $x^{3} = 0$ , c'est-à-dire en $x = 0$ seulement. Prenons alors un autre exemple.
Meilleur contre-exemple. Soit $f(x) = x^{3} - 3x$ , dont la tangente au point $(0,0)$ a pour pente $f'(0) = -3$ , soit la droite $y = -3x$ .
Cherchons les intersections : $x^{3} - 3x = -3x \iff x^{3} = 0 \iff x = 0.$ Encore un seul point.
Contre-exemple concluant. Prenons la tangente à $f(x) = x^{3}-3x$ au point $(1,-2)$ , qui est horizontale : $y = -2$ .
Intersections : $x^{3} - 3x = -2 \iff x^{3}-3x+2 = 0 \iff (x-1)^{2}(x+2) = 0,$ d'où $x = 1$ (point de tangence) et $x = -2$ .
La tangente touche donc la courbe en $(1,-2)$ et la recoupe en $(-2,-2)$ . L'énoncé est faux.

Piège fréquent — Confondre tangence (propriété locale) et intersection unique (propriété globale).

2.Vrai ou fauxMoyen§6.2· 3 min

La règle de L'Hospital

Vrai ou faux ? On peut appliquer la règle de L'Hospital à

\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x^{2}+3}{x+1}

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Indice

Commence par évaluer directement. Obtiens-tu vraiment une forme indéterminée ?

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Réponse finale

Faux

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Démarche détaillée

Vérification de la forme. C'est toujours la première chose à faire : $\dfrac{1^{2}+3}{1+1} = \dfrac{4}{2} = 2.$
La limite s'évalue directement et vaut $2$ : il n'y a aucune indétermination.
La règle de L'Hospital ne s'applique donc pas. L'énoncé est faux.
Ce qui arriverait si on l'appliquait quand même. En dérivant séparément : $\lim_{x \to 1}\dfrac{2x}{1} = 2.$
Ici le résultat coïncide par coïncidence, mais ce n'est pas une règle. Prenons $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}}{x+1} = \dfrac{1}{2}$ : une application abusive donnerait $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{2x}{1} = 2$ , ce qui est faux.
Morale : la vérification de la forme n'est pas une formalité, c'est ce qui rend la règle valide.

Piège fréquent — Appliquer la règle par réflexe dès qu'on voit un quotient, sans vérifier la forme.

3.Courte démarcheFacile§6.3· 4 min

Les nombres critiques

Trouve les nombres critiques de

f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x

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Indice

Après avoir dérivé, mets le facteur commun en évidence avant de factoriser le trinôme restant.

Voir la réponse finale

Réponse finale

c = 3

c = -1

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Démarche détaillée

Domaine. Polynôme : $\mathrm{dom}\,f = \mathbb{R}$ .
Dérivée. $f'(x) = 3x^{2} - 6x - 9.$
Résoudre $f'(x) = 0$ . On met $3$ en évidence : $3\left(x^{2} - 2x - 3\right) = 0.$
On factorise le trinôme : deux nombres de produit $-3$ et de somme $-2$ , soit $-3$ et $+1$ : $3(x-3)(x+1) = 0.$
D'où $x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -1.$
Où $f'$ n'existe-t-elle pas ? Nulle part : $f'$ est un polynôme.
Appartenance au domaine. Les deux valeurs sont réelles. $\checkmark$
Les nombres critiques sont donc $c = 3$ et $c = -1$ .

Piège fréquent — Se tromper de signes en factorisant et obtenir

(x+3)(x-1)

4.Courte démarcheMoyen§6.4· 5 min

Croissance, décroissance et extremums

Trouve les extremums relatifs de

f(x) = 2x^{3} - 9x^{2} + 12x

à l'aide du test de la dérivée première.

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Indice

Après avoir trouvé les nombres critiques, c'est le changement de signe de

f'

qui décide de la nature de chacun.

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Réponse finale

Maximum relatif de

5

x = 1

; minimum relatif de

4

x = 2

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Démarche détaillée

Dérivée. $f'(x) = 6x^{2} - 18x + 12 = 6\left(x^{2}-3x+2\right) = 6(x-1)(x-2).$
Nombres critiques. $x = 1 \quad \text{et} \quad x = 2.$
Étude du signe de $f'$ . $\begin{aligned} f'(0) &= 6(-1)(-2) = 12 > 0, \\ f'(1{,}5) &= 6(0{,}5)(-0{,}5) = -1{,}5 < 0, \\ f'(3) &= 6(2)(1) = 12 > 0. \end{aligned}$
Application du test.
En $x = 1$ : $f'$ passe de $+$ à $-$ , donc maximum relatif. Sa valeur est $f(1) = 2 - 9 + 12 = 5.$
En $x = 2$ : $f'$ passe de $-$ à $+$ , donc minimum relatif. Sa valeur est $f(2) = 16 - 36 + 24 = 4.$
Conclusion. Maximum relatif de $5$ en $x=1$ , minimum relatif de $4$ en $x=2$ .
Remarque : ici le maximum relatif ( $5$ ) est supérieur au minimum relatif ( $4$ ), ce qui est normal puisque ces extremums sont locaux.

Piège fréquent — Donner les abscisses

1

2

comme réponse au lieu des valeurs

f(1)

f(2)

5.Vrai ou fauxMoyen§6.4· 3 min

Croissance, décroissance et extremums

Vrai ou faux ? Si

f

admet un maximum relatif en

c

et que

f

est dérivable en

c

, alors

f'(c) = 0

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Indice

À un sommet de courbe où la tangente existe, quelle est nécessairement son inclinaison ?

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Réponse finale

Vrai

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Attention au sens de l'implication : ici on part de l'extremum pour conclure sur la dérivée, et non l'inverse.
Si $f$ admet un maximum relatif en $c$ , la courbe monte avant $c$ et descend après. La dérivée passe donc de positive à négative.
Comme $f$ est dérivable en $c$ , la dérivée existe en ce point. Une quantité qui passe du positif au négatif en existant partout doit s'annuler au passage : $f'(c) = 0.$
Géométriquement : au sommet d'une courbe lisse, la tangente est nécessairement horizontale.
L'énoncé est donc vrai.
Mais la réciproque est fausse : $f(x)=x^{3}$ vérifie $f'(0)=0$ sans avoir d'extremum en $0$ .
L'hypothèse de dérivabilité est également essentielle : $f(x)=|x|$ admet un minimum en $0$ , mais $f'(0)$ n'existe pas — on ne peut donc pas écrire $f'(0)=0$ .

Piège fréquent — Confondre cette implication avec sa réciproque, qui est fausse.

6.Choix multipleDifficile§6.5· 4 min

Concavité et points d'inflexion

Soit

c

un nombre critique de

f

tel que

f'(c) = 0

f''(c) = 0

. Que peut-on conclure ?

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Indice

Compare trois fonctions :

x^{4}

-x^{4}

x^{3}

. Elles vérifient toutes

f'(0)=f''(0)=0

. Ont-elles le même comportement en

0

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Réponse finale

Le test de la dérivée seconde est non concluant ; il faut utiliser celui de la dérivée première

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Démarche détaillée

Le théorème du cours prévoit trois cas, dont le troisième est explicitement un échec : $f''(c) < 0 \Rightarrow \text{maximum}, \qquad f''(c) > 0 \Rightarrow \text{minimum}, \qquad f''(c) = 0 \Rightarrow \text{non concluant}.$
Trois exemples montrent pourquoi aucune conclusion n'est possible. Tous vérifient $f'(0) = f''(0) = 0$ :
$f(x) = x^{4}$ : $f'(x)=4x^{3}$ passe de $-$ à $+$ en $0$ , donc minimum.
$f(x) = -x^{4}$ : $f'(x)=-4x^{3}$ passe de $+$ à $-$ , donc maximum.
$f(x) = x^{3}$ : $f'(x)=3x^{2}$ reste positive des deux côtés, donc ni l'un ni l'autre.
Trois comportements différents pour une même information $f''(c)=0$ : le test ne peut donc rien trancher.
Dans ce cas, on revient au test de la dérivée première, qui, lui, conclut toujours.

Piège fréquent — Conclure à un point d'inflexion dès que

f''(c)=0

7.Vrai ou fauxMoyen§6.5· 3 min

Concavité et points d'inflexion

Vrai ou faux ? Si

f''(c) = 0

et que

c

appartient au domaine de

f

, alors la courbe admet un point d'inflexion en

c

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Indice

Que faut-il de plus que l'annulation de

f''

pour qu'il y ait inflexion ? Teste avec

f(x) = x^{4}

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Réponse finale

Faux

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Démarche détaillée

L'annulation de $f''$ ne suffit pas : il faut de plus que la concavité change effectivement de part et d'autre de $c$ .
Contre-exemple. Soit $f(x) = x^{4}$ .
$f'(x) = 4x^{3}, \qquad f''(x) = 12x^{2}.$
On a bien $f''(0) = 0$ , et $0$ appartient au domaine.
Mais étudions le signe de $f''$ : $f''(x) = 12x^{2} \geq 0 \qquad \text{pour tout } x \text{ réel}.$
La dérivée seconde est positive des deux côtés de $0$ : la courbe est concave vers le haut partout. La concavité ne change pas.
Il n'y a donc aucun point d'inflexion en $x=0$ , bien que $f''(0)=0$ . L'énoncé est faux.
L'annulation de $f''$ fournit seulement une liste de candidats ; l'étude de signe est indispensable pour trancher.

Piège fréquent — Traiter

f''(c)=0

comme une condition suffisante d'inflexion.

8.Courte démarcheMoyen§6.6· 5 min

Le tableau de variation combiné

À partir du tableau de variation combiné suivant, identifie tous les extremums relatifs et tous les points d'inflexion de

f

p{1.1cm}\|>{}p{0.85cm}\|>{}p{1.2cm}\|>{}p{0.85cm}\|>{}p{1.2cm}\|>{}p{0.85cm}\|>{}p{1.2cm}\|>{}p{0.85cm}\|>{}p{1.2cm}\|>{}p{0.85cm}\|} $x$		$-1$		$0$		$2$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$f''(x)$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$f(x)$	$\searrow\cup$	$-4$	$\nearrow\cup$	$1$	$\nearrow\cap$	$6$	$\searrow\cap$

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Indice

Examine chaque colonne où apparaît un

0

. Sur quelle ligne se trouve-t-il, et y a-t-il changement de signe ?

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Réponse finale

Minimum relatif

-4

x=-1

; maximum relatif

6

x=2

; point d'inflexion

(0, 1)

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Démarche détaillée

On examine chaque colonne contenant un $0$ , en repérant sur quelle ligne il se trouve.
En $x = -1$ . Le $0$ est sur la ligne $f'$ , qui passe de $-$ à $+$ . C'est un changement de signe, donc un minimum relatif de valeur $f(-1) = -4$ .
La ligne $f(x)$ le confirme : la flèche passe de $\searrow$ à $\nearrow$ .
En $x = 0$ . Le $0$ est sur la ligne $f''$ , qui passe de $+$ à $-$ . La concavité change de $\cup$ à $\cap$ : c'est un point d'inflexion, soit le point $(0, 1)$ .
Noter que $f'$ reste positive en $x=0$ : la fonction continue de croître, il n'y a donc pas d'extremum.
En $x = 2$ . Le $0$ est sur la ligne $f'$ , qui passe de $+$ à $-$ . C'est un maximum relatif de valeur $f(2) = 6$ .
Conclusion. Minimum relatif de $-4$ en $x=-1$ ; point d'inflexion $(0,1)$ ; maximum relatif de $6$ en $x=2$ .

Piège fréquent — Traiter tous les

0

du tableau comme des extremums, sans regarder sur quelle ligne ils se trouvent.

9.Problème completDifficile§6.7· 15 min

L'étude complète d'une fonction

Soit

\displaystyle f(x) = \dfrac{4x}{x^{2}+1}

.
On donne :

f'(x) = \dfrac{4\left(1-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}

f''(x) = \dfrac{8x\left(x^{2}-3\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}

.
Effectue l'étude complète de

f

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Indice

Le dénominateur

x^{2}+1

ne s'annule jamais : cela élimine d'emblée toute asymptote verticale. Concentre-toi sur les numérateurs de

f'

f''

Voir la réponse finale

Réponse finale

Domaine

\mathbb{R}

; ordonnée

0

; zéro

x=0

; aucune AV, AH

y=0

; minimum relatif

-2

x=-1

, maximum relatif

2

x=1

; points d'inflexion

\left(-\sqrt{3}, -\sqrt{3}\right)

(0,0)

\left(\sqrt{3}, \sqrt{3}\right)

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Démarche détaillée

1. Domaine. Le dénominateur vérifie $x^{2}+1 \geq 1 > 0$ : il ne s'annule jamais. $\mathrm{dom}\,f = \mathbb{R}.$
2. Ordonnée à l'origine et zéros. $f(0) = \dfrac{0}{1} = 0.$ Le seul zéro est $x = 0$ , puisque $4x = 0 \iff x = 0$ .
3. Asymptotes. Aucune asymptote verticale, le domaine étant $\mathbb{R}$ tout entier.
À l'infini, on divise par $x^{2}$ : $\dfrac{4x}{x^{2}+1} = \dfrac{\tfrac{4}{x}}{1+\tfrac{1}{x^{2}}} \ \longrightarrow \ \dfrac{0}{1} = 0.$
La droite $y = 0$ est asymptote horizontale des deux côtés.
4. Nombres critiques. Le dénominateur de $f'$ ne s'annule jamais, donc on résout son numérateur : $4\left(1-x^{2}\right) = 0 \iff x = \pm 1.$
Zéros de $f''$ . De même : $8x\left(x^{2}-3\right) = 0 \iff x = 0 \ \text{ ou } \ x = \pm\sqrt{3}.$
Valeurs de $f$ . $\begin{aligned} f(-1) &= \dfrac{-4}{2} = -2, \\ f(0) &= 0, \\ f(1) &= \dfrac{4}{2} = 2, \\ f\left(\pm\sqrt{3}\right) &= \dfrac{\pm 4\sqrt{3}}{4} = \pm\sqrt{3}. \end{aligned}$
Signes de $f'$ . Le signe est celui de $\left(1-x^{2}\right)$ : négatif si $|x|>1$ , positif si $|x|<1$ .
Signes de $f''$ . Le signe est celui de $x\left(x^{2}-3\right)$ : $\begin{aligned} x < -\sqrt{3} &: (-)(+) = - \\ -\sqrt{3} < x < 0 &: (-)(-) = + \\ 0 < x < \sqrt{3} &: (+)(-) = - \\ x > \sqrt{3} &: (+)(+) = + \end{aligned}$
5. Tableau de variation combiné. Cinq valeurs remarquables en ordre croissant : $-\sqrt{3}$ , $-1$ , $0$ , $1$ , $\sqrt{3}$ .

p{0.8cm}\|>{}p{0.6cm}\|>{}p{0.75cm}\|>{}p{0.75cm}\|>{}p{0.75cm}\|>{}p{0.6cm}\|>{}p{0.75cm}\|>{}p{0.6cm}\|>{}p{0.75cm}\|>{}p{0.75cm}\|>{}p{0.75cm}\|>{}p{0.6cm}\|} $x$		$-\sqrt{3}$		$-1$		$0$		$1$	$\sqrt{3}$
$f'$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$f''$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$	$0$
$f$	$\searrow\cap$	$-\sqrt{3}$	$\searrow\cup$	$-2$	$\nearrow\cup$	$0$	$\nearrow\cap$	$2$	$\sqrt{3}$

6. Extremums et inflexions.
En $x=-1$ : $f'$ passe de $-$ à $+$ , donc minimum relatif de $-2$ .
En $x=1$ : $f'$ passe de $+$ à $-$ , donc maximum relatif de $2$ .
En $x=-\sqrt{3}$ , $x=0$ et $x=\sqrt{3}$ : $f''$ change de signe à chaque fois, donc trois points d'inflexion : $\left(-\sqrt{3}, -\sqrt{3}\right), \qquad (0,0), \qquad \left(\sqrt{3}, \sqrt{3}\right).$
7. Esquisse. La courbe monte de $0$ (venant de $-\infty$ ) jusqu'au sommet $(1,2)$ après être passée par le creux $(-1,-2)$ , puis redescend vers $0$ . Elle est symétrique par rapport à l'origine.
Vérification : $f$ est impaire, ce qui explique la symétrie complète du tableau.

Piège fréquent — Chercher une asymptote verticale alors que le dénominateur

x^{2}+1

ne s'annule jamais.

9 exercices disponibles — 46 autres avec le package.

7. Taux liés, optimisation et modélisation en sciences de la nature

7 exercices ici.

1.Choix multipleFacile§7.2· 2 min

Problèmes de taux de variation en contexte

Le volume

V

d'eau dans un réservoir est mesuré en litres, et le temps

t

en minutes. Quelles sont les unités de

\dfrac{dV}{dt}

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Indice

Relis la notation de Leibniz à voix haute :

\frac{dV}{dt}

se lit «

dV

sur

dt

». Que suggère cette lecture ?

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Réponse finale

L/min

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Démarche détaillée

Les unités d'une dérivée s'obtiennent directement de sa structure : $\dfrac{\text{unités de la grandeur}}{\text{unité de la variable}}.$
Ici la grandeur $V$ est en litres et la variable $t$ en minutes, donc $\dfrac{dV}{dt} \ \text{est en} \ \dfrac{\text{L}}{\text{min}} = \text{L/min}.$
La notation de Leibniz est particulièrement commode pour cela : sa forme de quotient rappelle immédiatement comment composer les unités.
Concrètement, une valeur de $\dfrac{dV}{dt} = 8$ signifie que le volume augmente de $8$ litres à chaque minute qui passe.

Piège fréquent — Inverser le rapport et donner min/L.

2.Vrai ou fauxMoyen§7.3· 3 min

La tendance à long terme

Vrai ou faux ? Si la tendance à long terme d'une quantité

Q(t)

est un nombre fini

L

, alors le graphique de

Q

admet la droite

Q = L

comme asymptote horizontale.

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Indice

Quelle est la définition d'une asymptote horizontale, et comment se calcule une tendance à long terme ?

Voir la réponse finale

Réponse finale

Vrai

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Démarche détaillée

La tendance à long terme d'une quantité se calcule par $\lim_{t \to +\infty} Q(t).$
Or c'est exactement la définition d'une asymptote horizontale : la droite $y = L$ est asymptote horizontale du graphique de $Q$ lorsque cette limite vaut $L$ , avec $L$ réel.
Les deux notions décrivent donc le même phénomène, dans deux langages différents : celui du contexte appliqué et celui de l'analyse graphique.
L'énoncé est vrai.
Exemple. Pour $T(t) = 20 + 60e^{-0{,}05t}$ , on a $\displaystyle\lim_{t\to+\infty} T(t) = 20$ . La température se stabilise à $20$ ~^oC, et la droite $T = 20$ est asymptote horizontale.
Nuance importante. La réciproque n'est pas garantie dans l'autre sens du temps : une fonction peut avoir une asymptote horizontale du côté $-\infty$ sans que cela concerne la tendance à long terme, qui ne s'intéresse qu'à $t \to +\infty$ .

Piège fréquent — Croire que la quantité finit par atteindre exactement la valeur

L

, alors qu'elle s'en approche sans jamais l'atteindre.

3.Problème completDifficile§7.3· 10 min

La tendance à long terme

Une population animale suit le modèle

\displaystyle P(t) = \dfrac{800}{1 + 3\,e^{-0{,}4t}}

, où

t

est en années.
(a) Quelle est la population initiale ?
(b) Détermine la tendance à long terme.
(c) Interprète cette valeur dans le contexte.
(d) La population peut-elle dépasser cette valeur ? Justifie.

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Indice

Pour (b), concentre-toi sur ce que devient le terme exponentiel du dénominateur. Pour (d), examine le signe du dénominateur.

Voir la réponse finale

Réponse finale

(a)

200

individus (b)

800

individus (c) la capacité limite du milieu (d) non, car le dénominateur reste toujours supérieur à

1

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Démarche détaillée

(a) Population initiale. $P(0) = \dfrac{800}{1 + 3\,e^{0}} = \dfrac{800}{1+3} = \dfrac{800}{4} = 200.$
La population compte donc $200$ individus au départ.
(b) Tendance à long terme. Quand $t \to +\infty$ , l'exposant $-0{,}4t \to -\infty$ , donc $e^{-0{,}4t} \longrightarrow 0, \qquad \text{et donc} \qquad 3\,e^{-0{,}4t} \longrightarrow 0.$
Le dénominateur tend vers $1 + 0 = 1$ , d'où $\lim_{t \to +\infty} P(t) = \dfrac{800}{1} = 800.$
(c) Interprétation. À long terme, la population se stabilise autour de $800$ individus. Cette valeur est la capacité limite du milieu : le nombre maximal d'individus que l'environnement peut soutenir durablement.
(d) Dépassement possible ? Examinons le dénominateur. Comme $e^{-0{,}4t} > 0$ pour tout $t$ , on a $3\,e^{-0{,}4t} > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad 1 + 3\,e^{-0{,}4t} > 1.$
Le dénominateur est donc toujours strictement supérieur à $1$ , ce qui entraîne $P(t) = \dfrac{800}{1 + 3e^{-0{,}4t}} < \dfrac{800}{1} = 800.$
La population ne peut donc jamais atteindre ni dépasser $800$ individus : elle s'en approche asymptotiquement par le bas.
C'est exactement le comportement attendu d'un modèle logistique, où la croissance ralentit à mesure qu'on approche de la capacité limite.

Piège fréquent — Croire que

e^{-0{,}4t} \to 0

rend le dénominateur nul, et conclure à une limite infinie.

4.Courte démarcheMoyen§7.4· 5 min

Les taux liés

Le côté d'un carré augmente à raison de

3

~cm/s. On cherche à quelle vitesse son aire augmente lorsque le côté mesure

8

~cm.
Sans résoudre le problème, écris (a) l'équation de liaison, (b) le taux connu et (c) le taux cherché, avec leurs unités.

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Indice

Quelle formule relie l'aire d'un carré à son côté ? Nomme d'abord tes variables avant d'écrire quoi que ce soit.

Voir la réponse finale

Réponse finale

(a)

A = c^{2}

(b)

\dfrac{dc}{dt} = 3

cm/s (c)

\dfrac{dA}{dt} = \;?

en cm

^{2}

/s lorsque

c = 8

Voir la démarche complète

Démarche détaillée

Variables. Soit $c$ le côté du carré (en cm), $A$ son aire (en cm $^{2}$ ) et $t$ le temps (en s). Les deux grandeurs $c$ et $A$ dépendent du temps.
(a) Équation de liaison. La formule qui relie les deux variables est $A = c^{2}.$
(b) Taux connu. L'énoncé dit que le côté augmente de $3$ ~cm/s : $\dfrac{dc}{dt} = 3 \ \text{cm/s}.$
(c) Taux cherché. On veut la vitesse d'augmentation de l'aire : $\dfrac{dA}{dt} = \;? \ \text{en cm}^{2}\text{/s}, \qquad \text{lorsque } c = 8 \ \text{cm}.$
Noter la distinction essentielle : $c = 8$ ~cm est une condition ponctuelle, pas un taux. Elle ne servira qu'après la dérivation.
Noter aussi les unités du taux cherché : l'aire est en cm $^{2}$ et le temps en s, donc cm $^{2}$ /s — et non cm/s.

Piège fréquent — Substituer

c = 8

dans l'équation de liaison avant de dériver, ce qui la transformerait en constante.

5.Problème completMoyen§7.4· 10 min

Les taux liés

Une échelle de

13

~m est appuyée contre un mur vertical. Son pied s'éloigne du mur à

2

~m/s. À quelle vitesse le haut de l'échelle descend-il lorsque le pied est à

5

~m du mur ?

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Indice

L'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle dont l'hypoténuse est constante. C'est cette constance qui rend la relation utilisable.

Voir la réponse finale

Réponse finale

\dfrac{dy}{dt} = -\dfrac{5}{6} \approx -0{,}833

m/s : le haut descend à environ

0{,}83

m/s

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Démarche détaillée

Étape 1 — Variables. Soit $x$ la distance du pied au mur (m) et $y$ la hauteur du haut de l'échelle (m), toutes deux dépendant du temps $t$ (s).
Étape 2 — Taux. $\dfrac{dx}{dt} = 2 \ \text{m/s (connu)}, \qquad \dfrac{dy}{dt} = \;? \quad \text{lorsque } x = 5 \ \text{m}.$
Étape 3 — Équation de liaison. Par le théorème de Pythagore, l'échelle étant de longueur constante : $x^{2} + y^{2} = 13^{2} = 169.$
Étape 4 — Dériver par rapport à $t$ . $2x\,\dfrac{dx}{dt} + 2y\,\dfrac{dy}{dt} = 0.$
Étape 5 — Trouver $y$ puis substituer. Lorsque $x = 5$ : $25 + y^{2} = 169 \iff y^{2} = 144 \iff y = 12 \ \text{m}.$
On retient la valeur positive, puisque $y$ est une hauteur.
$2(5)(2) + 2(12)\,\dfrac{dy}{dt} = 0.$
Étape 6 — Résoudre. $20 + 24\,\dfrac{dy}{dt} = 0 \iff \dfrac{dy}{dt} = -\dfrac{20}{24} = -\dfrac{5}{6} \approx -0{,}833.$
Interprétation. Lorsque le pied est à $5$ ~m du mur, le haut de l'échelle descend à environ $0{,}83$ ~m/s.
Le signe négatif est essentiel : il indique que la hauteur $y$ diminue, ce qui est bien le comportement attendu d'une échelle qui glisse.

Piège fréquent — Donner la réponse sans commenter le signe négatif, ou pire, le supprimer en le jugeant aberrant.

6.Problème completMoyen§7.5· 10 min

Les problèmes d'optimisation

Un agriculteur dispose de

200

~m de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire le long d'une rivière rectiligne. Le côté longeant la rivière n'a pas besoin d'être clôturé. Quelles dimensions maximisent l'aire, et quelle est cette aire ?

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Indice

Combien de côtés faut-il clôturer ? C'est ce qui distingue ce problème de celui d'un enclos complet.

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Réponse finale

50

\times

100

m, pour une aire maximale de

5000

^{2}

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Démarche détaillée

Étape 1 — Variables. Soit $x$ la largeur (perpendiculaire à la rivière) et $y$ la longueur (parallèle à la rivière), en mètres.
Étape 2 — Quantité à optimiser. $A = xy.$
Étape 3 — Contrainte. Seuls trois côtés sont clôturés : les deux largeurs et une longueur. $2x + y = 200 \qquad \Longrightarrow \qquad y = 200 - 2x.$
On substitue : $A(x) = x(200-2x) = 200x - 2x^{2}.$
Étape 4 — Domaine réaliste. Il faut $x > 0$ et $y = 200-2x > 0$ , donc $x \in \;]0, 100[.$
Étape 5 — Nombres critiques. $A'(x) = 200 - 4x = 0 \iff x = 50.$
Cette valeur appartient bien au domaine réaliste.
Étape 6 — Valider. Par le test de la dérivée seconde : $A''(x) = -4 < 0,$ donc $x = 50$ donne bien un maximum.
Étape 7 — Interpréter. $y = 200 - 2(50) = 100 \ \text{m}, \qquad A = 50 \times 100 = 5000 \ \text{m}^{2}.$
L'enclos optimal mesure donc $50$ ~m sur $100$ ~m, pour une aire maximale de $5000$ ~m $^{2}$ .
Remarque : le côté parallèle à la rivière ( $100$ ~m) vaut exactement le double de chaque largeur. Ce rapport de $2$ est caractéristique de ce type de problème à trois côtés.

Piège fréquent — Utiliser la contrainte

2x + 2y = 200

d'un enclos complet, en oubliant que la rivière remplace un côté.

7.Courte démarcheMoyen§7.6· 4 min

Interpréter un résultat

La masse d'un échantillon radioactif est

m(t)

, en grammes, où

t

est en années. On a calculé

\left.\dfrac{dm}{dt}\right|_{t=5} = -0{,}8

.
Donne les unités de ce résultat et rédige une phrase d'interprétation complète.

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Indice

Une interprétation complète comporte trois éléments : la valeur, les unités et une phrase. N'oublie pas de commenter le signe.

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Réponse finale

-0{,}8

g/an : après

5

ans, la masse de l'échantillon diminue au rythme de

0{,}8

gramme par année

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Démarche détaillée

Unités. La masse est en grammes et le temps en années, donc $\dfrac{\text{gramme}}{\text{année}} = \text{g/an}.$
Valeur et signe. Le résultat est $-0{,}8$ ~g/an. Le signe négatif indique que la masse diminue.
Phrase d'interprétation. Après $5$ ~ans, la masse de l'échantillon radioactif diminue au rythme de $0{,}8$ ~gramme par année.
Cohérence physique. Le signe négatif est attendu : un échantillon radioactif se désintègre, donc sa masse ne peut que décroître. Un résultat positif aurait signalé une erreur de calcul.
Rappel des trois éléments exigés : la valeur ( $0{,}8$ ), les unités (g/an) et une phrase répondant à la question posée. Un nombre seul ne vaut pas la totalité des points.

Piège fréquent — Écrire « la masse diminue de

-0{,}8

g/an », ce qui revient à compter le signe négatif deux fois.

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